題目列表(包括答案和解析)
（本小題共13分）已知函數(shù)
，其中
．
（Ⅰ）求證：函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)
在
處取得最大值，求．
（本小題滿分13分）
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線
，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。
【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
（本小題滿分13分）
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線
，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。
【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
（本小題共13分）
已知函數(shù)
的反函數(shù)為
，數(shù)列
和
滿足：
，
，
函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線在
軸上的截距為
．
（1）求數(shù)列{
}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列
的項(xiàng)僅
最小，求
的取值范圍；
（3）令函數(shù)
，數(shù)列
滿足：
，且
，其中
．證明：
．
（本小題共13分）
已知函數(shù)
的反函數(shù)為
，數(shù)列
和
滿足：
，
，
函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線在
軸上的截距為
．
（1）求數(shù)列{
}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列
的項(xiàng)僅
最小，求
的取值范圍；
（3）令函數(shù)
，數(shù)列
滿足：
，且
，其中
．證明：
．
一、選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
二、填空題
9．－8 10．（－1，－2） 11． 12．（2分）；2（3分）
13．（3分） 14．3.5
三、解答題
15．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
………………4分
在三角形ABC中，C=60° ………………6分
（Ⅱ）∵ …………8分
又∵ ………………9分
∴
∴ ………………11分
∴
∴ ………………13分（少一組值扣1分）
16．[解法一]（Ⅰ）證：在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC//A1C1 ………………2分
又平面ACD ∴A1C1//平面ACD ………………4分
（Ⅱ）在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC ………………6分 又∠BAC=90° ∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 ………………8分
又A1D平面A1ABB1， ∴AC⊥A1D
∴異面直線AC與A1D所成的角大小為 ………………9分
（Ⅲ）∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …………11分 由（Ⅱ）知A1D⊥AC，
∴A1D⊥平面ACD ……………………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（Ⅰ）圓心坐標(biāo)C（－1，2），半徑。 ………………3分（圓心橫縱坐標(biāo)及半徑各1分）
（Ⅱ）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，
設(shè)直線方程 ………………4分
∵圓C：
∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，
即： ………………6分
∴a=－1或a=3，
所求切線方程為：
（Ⅲ）∵切線PM與半徑CM垂直，設(shè)P(x，y)
∴|PM|2=|PC|2－|CM|2 ………………10分
∴ ………………11分
所以點(diǎn)P的軌跡方程為 ………………13分
18．（Ⅰ）證明：∵
……………………1分
……………………3分
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。 ………………4分
（Ⅱ）解： ………………5分
由（Ⅰ）得 …………7分
∴ ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ………………9分
利用錯(cuò)位相減法可得， ………………14分
19．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
又
可得 ………………4分
又
即
（0，x1）
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
+
0
－
0
+
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以為的極大值，為的極小值.……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
…………9分
……12分
……13分
20．解：（Ⅰ）由題意知
則雙曲線方程為：……3分
（Ⅱ）設(shè)
設(shè)PQ方程為：代入雙曲線方程可得：
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，
……4分
……5分
由于
由……6分
……7分
此時(shí)
……8分
（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)，滿足題設(shè)條件
……9分
把（3）（4）代入（2）得：……（5）
由（1）（5）得：……11分
，滿足題設(shè)條件. ………………13分
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