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        1. 處取得最小值, 則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 圖3 (二) 選做題(13 ~ 15題.考生只能從中選做兩題) 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則

          依題意得:,即    解得

          第二問當(dāng)時(shí),,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

          第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          (Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當(dāng)時(shí),,令

          當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          ,。∴上的最大值為2.

          ②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;

          當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增!最大值為。

          綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;

          當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時(shí),

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

          ∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

           

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          已知變量x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)x=y-ax僅在點(diǎn)(5,3)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(    )。

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          10、已知D是由以A(7,9),B(3,1),C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域,則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)B(3,1)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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          已知D是由以A(7,9),B(3,1),C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域,則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)B(3,1)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
          A.(-∞,-2)
          B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
          C.(-2,1)
          D.(-1,2)

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          已知D是由以A(7,9),B(3,1),C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域,則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)B(3,1)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是


          1. A.
            (-∞,-2)
          2. B.
            (-∞,-2)∪(1,+∞)
          3. C.
            (-2,1)
          4. D.
            (-1,2)

          查看答案和解析>>

          說明:1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

                2.對(duì)解答題中的計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.

                3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

          4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.

          一、選擇題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題,每小題5分,滿分50分.

             

          題號(hào)

          1

          2

          3

          4

          5

          6

          7

          8

          答案

          C

          A

          B

          A

          B

          C

          C

          D

           

          二、填空題:本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題.

          9.    10.        11.         12.  

          13.           14.     15.2

          說明:第14題答案可以有多種形式,如可答Z等, 均給滿分.

          三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

          16.(本小題滿分12分)          

          解:(1)∵

                                                              ……2分

                                                        ……4分     

                       .                                             ……6分

          .                                                     ……8分

          (2) 當(dāng)時(shí), 取得最大值, 其值為2 .                    ……10分

          此時(shí),即Z.                      ……12分

           

          17.(本小題滿分12分)

          解:(1)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件,.        ……3分   

          即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為.                             ……4分    

          (2)的可能取值為1,2,3.                                       ……5分   

          =,                                                

          =,                                            

          =,                                     ……8分     

          的概率分布列為:

          1

          2

          3

          ……10分

          =.                          ……12分

           

          18.(本小題滿分14分)

          解:(1)∵點(diǎn)A、D分別是的中點(diǎn),

          .                                     ……2分                   

          ∴∠=90º.

          .

          ,                                                   

          ,

          ⊥平面.                                         ……4分     

          平面,

          .                                             ……6分      

          (2)法1:取的中點(diǎn),連結(jié)

          ,

          .                                      

          ,

          平面.

          平面,

          .                      ……8分

          平面.

          平面,

          .

          ∴∠是二面角的平面角.                            ……10分 

          在Rt△中, ,

          在Rt△中, ,

          .                             ……12分          

          ∴ 二面角的平面角的余弦值是.                ……14分         

           

          法2:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

          (-1,0,0),(-2,1,0),(0,0,1).

          =(-1,1,0),=(1,0,1),      ……8分

          設(shè)平面的法向量為=(x,y,z),則:

          ,                     ……10分

          ,得

          =(1,1,-1).

          顯然,是平面的一個(gè)法向量,=().  ……12分            

          ∴cos<,>=. 

          ∴二面角的平面角的余弦值是.                 ……14分        

           

           

           

           

          19. (本小題滿分14分)

          解:(1)依題意知,               ……2分                                       

                ∵,

          .                      ……4分                 

          ∴所求橢圓的方程為.                       ……6分              

          (2)∵ 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為

                                    ……8分                  

          解得:,.                 ……10分                

           

          .                                     ……12分            

          ∵ 點(diǎn)在橢圓:上,

          , 則.

          的取值范圍為.                ……14分                 

          20.(本小題滿分14分)

          解:(1)數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù),

          即第i行的第一個(gè)數(shù)是,                         ……2分             

                   ∴

          ,=2010,

          ∴ i=11.                                              ……4分       

          ,    

          解得.                          ……6分            

          (2)∵

          .                                    ……7分     

          .                   

          當(dāng)時(shí), , 則;

          當(dāng)時(shí), , 則;

          當(dāng)時(shí), , 則;

          當(dāng)時(shí), 猜想: .                         ……11分        

          下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

          ① 當(dāng)時(shí),, 即成立;

          ② 假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜想成立, 即,

            則,

          ,

          .

          即當(dāng)時(shí),猜想也正確.

          由①、②得當(dāng)時(shí), 成立.

          當(dāng)時(shí),.                             ……13分              

          綜上所述, 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),.  ……14分       

          另法( 證明當(dāng)時(shí), 可用下面的方法):

          當(dāng)時(shí), C + C + C+ C

                              

                              

                               .

                      

           

          21. (本小題滿分14分)

          解:(1)當(dāng)時(shí),

          .                    

                 令=0, 得 .                    ……2分                                  

          當(dāng)時(shí),, 則上單調(diào)遞增;

          當(dāng)時(shí),, 則上單調(diào)遞減;

          當(dāng)時(shí),, 上單調(diào)遞增.       ……4分             

          ∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

          當(dāng)時(shí), 取得極小值為.       ……6分

          (2) ∵ = ,

          ∴△= =  .                             

          ① 若a≥1,則△≤0,                           ……7分              

          ≥0在R上恒成立,

          ∴ f(x)在R上單調(diào)遞增 .                                                    

          ∵f(0),,                  

          ∴當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).     ……9分  

          ② 若a<1,則△>0,

          = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè)為x1,x2,(x1<x2).

          ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a.  

          當(dāng)變化時(shí),的取值情況如下表:                       

          x

          x1

          (x1,x2

          x2

          +

          0

          0

          +

          f(x)

          極大值

           

          極小值

           

                                                ……11分

          ,

          .