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如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，…是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）求證：（）；

（3）設(shè)，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)利用有，得到

第二問(wèn)證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得

第三問(wèn) 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分

則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當(dāng)時(shí)，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對(duì)所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

 

在中，是三角形的三內(nèi)角，是三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊，已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列

（Ⅰ）求角的大��；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一問(wèn)中利用依題意且，故

第二問(wèn)中，由題意又由余弦定理知

，得到，所以，從而得到結(jié)論。

（1）依題意且，故……………………6分

（2）由題意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

 

已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問(wèn)題的綜合運(yùn)用。運(yùn)用反證法思想進(jìn)行證明。

先反設(shè)，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，

則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.顯然不成立。

證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，

則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

 

在數(shù)列中，，其中，對(duì)任意都有：；（1）求數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，假設(shè)，試求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍。

【解析】第一問(wèn)中利用）同理得到

第二問(wèn)中，由題意得到：

累加法得到

第三問(wèn)中，利用恒成立，轉(zhuǎn)化為最小值大于等于即可。得到范圍。

（1）同理得到             ……2分 

（2）由題意得到：

 又

              ……5分

 ……8分

（3）

 

在復(fù)平面內(nèi)， 是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，=2+i。

（Ⅰ）如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)和；

（Ⅱ）復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C，D。試判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并證明你的結(jié)論。

【解析】第一問(wèn)中利用復(fù)數(shù)的概念可知得到由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i  ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =

第二問(wèn)中，由題意得，=（2,1）  ∴

同理，所以A、B、C、D四點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，

∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上

（Ⅰ）由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i     3分

     ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =                 2分

（Ⅱ）A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。                              2分

證明：由題意得，=（2,1）  ∴

  同理，所以A、B、C、D四點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，

∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上