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正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，q為非零常數(shù)．已知對任意正整數(shù)n，m，當(dāng)n＞m時(shí)，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若互不相等的正整數(shù)n，m，k成等差數(shù)列，比較S_n+S_k，2S_m的大��；
（3）若正整數(shù)n，m，k成等差數(shù)列，求證：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，q為非零常數(shù)．已知對任意正整數(shù)n，m，當(dāng)n＞m時(shí)，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列； 
（2）若正整數(shù)n，m，k成等差數(shù)列，求證：

1

Sn

+

1

Sk

≥

2

Sm

．

（2012•西城區(qū)二模）若正整數(shù)N=a1+a2+…+an (ak∈N*，k=1，2，…，n)，則稱a₁×a₂×…×a_n為N的一個(gè)“分解積”．
（Ⅰ）當(dāng)N分別等于6，7，8時(shí)，寫出N的一個(gè)分解積，使其值最大；
（Ⅱ）當(dāng)正整數(shù)N（N≥2）的分解積最大時(shí)，證明：ak (k∈N*)中2的個(gè)數(shù)不超過2；
（Ⅲ）對任意給定的正整數(shù)N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解積最大．

已知等差數(shù)列{x_n}，S_n是{x_n}的前n項(xiàng)和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，是否存在正數(shù)λ，對任意正整數(shù)n，k，不等式Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．
（3）判斷方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a（a∈R，a≠0）．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意正整數(shù)n都有

a2n

an

=

4n-1

2n-1

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n；
（2）是否存在正整數(shù)n和k，使得S_n，S_n+1，S_n+k成等比數(shù)列？若存在，求出n和k的值；若不存在，請說明理由．