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設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

AC

=2

CB

，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．

設(shè)直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=3交于P點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l過P點(diǎn)，且與直線l₀：2x+y=0平行時(shí)，求直線l的方程．
（2）當(dāng)直線l過P點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線l的距離為1時(shí)，求直線l的方程．

設(shè)直線l：y=x+m，雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，雙曲線的離心率為

3

，l與E交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于點(diǎn)R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）證明：4a²=m²+3；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）若點(diǎn)F是雙曲線E的右焦點(diǎn)，M，N是雙曲線上兩點(diǎn)，且

MF

=λ

FN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

設(shè)直線l（斜率存在）交拋物線y²=2px（p＞0，且p是常數(shù)）于兩個(gè)不同點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直線l的斜率與p之間的關(guān)系；
（2）求證：直線l過定點(diǎn)；
（3）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為P，若點(diǎn)M在射線PA上，滿足

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，求點(diǎn)M的軌跡方程．