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在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點(diǎn).

求證：四邊形B′EDF是菱形；

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在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點(diǎn)  
(1)求直線A′C與DE所成的角；
(2)求直線AD與平面B′EDF所成的角；
(3)求面B′EDF與面ABCD所成的角 

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1.   2. 1  3. 4  4.  5. 1,  6.  90° 7. 13

8.   9.   10. 4  11. y=2x  12. 9

13. D  14. B  15. D  16. C

17. 解： (1)y=2sin(2x-),  3’     最小正周期T=    5’

(2) ……8’

∴函數(shù)y的值域?yàn)閇-1,2]                           ……………10’

18. (1)解  如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補(bǔ)角)為異面直線A′C與DE所成的角  

在△A′CP中，

易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a

由余弦定理得cosA′CP=

故A′C與DE所成角為arccos 

另法（向量法）  如圖建立坐標(biāo)系，則

故A′C與DE所成角為arccos 

 (2)解  ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上  如下圖所示   

又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，

故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′

在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a

則cosADB′=

故AD與平面B′EDF所成的角是arccos 

另法（向量法） 

∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上  如下圖所示   

又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，

故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，

如圖建立坐標(biāo)系，則

，

故AD與平面B′EDF所成的角是arccos 

19.  （1）解為等差數(shù)列，

     ……………………………………………………2分

解得 ……………………………4分

 ………………………………………………………………5分

 ……………………………………………………………6分

   （2） ………………………………………………6分

 …………8分

因，知上單減，在上單增，

又，

而 …………………………………………10分

∴當(dāng)n = 5時(shí)，取最大值為 ………………12分

20. 解：（1）∵，∴，即，

∵，∴

   （2），  

  當(dāng)，

即時(shí)，

     當(dāng)時(shí)，∵，∴這樣的不存在。

     當(dāng)，即時(shí)，，這樣的不存在。

     綜上得， .

21. 解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

       GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|                                        

              ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是

   （2）因?yàn)?sub>，所以四邊形OASB為平行四邊形

       若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

       若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

       矛盾，故l的斜率存在.   

       設(shè)l的方程為

          ①

          ②                      

       把①、②代入

∴存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.