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已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ） 證明：

1

2-f(2)

+

1

3-f(3)

+…+

1

n-f(n)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）．
參考數據：ln2≈0.6931．

已知函數f（x）=alnx-x²，x=1是f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底數）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），求證：

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．（參考數據：ln2≈0.7  e≈2.7）

（2013•涼山州二模）在直角坐標平面內，點A（x，y）實施變換f后，對應點為A'（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點實施變換f后，對應點的軌跡仍是圓x²+y²=r²：
②若直線y=kx+b上海一點實施變換f后，對應點的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)每一點，實施變換f后，對應點的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線C；y=1nx-x（x＞0）上每一點實施變換f后，對應點軌跡足曲線C'，M是曲線C上任意一點，N是曲線C'上任意一點，則|MN|的最小值為

2

(1+ln2)．
以上正確命題的序號是 （寫出全部正確命題的序號）

已知函數f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

，對任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），則b-a的最小值為（　�。�