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（2009•杭州二模）如圖，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數(shù)，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數(shù)的乘積相等．設點A為第一行，…，BC為第n行，
記點A上的數(shù)為a_1，1，…，第I行中第j個數(shù)為ai，j(1≤j≤i)．若a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

則下列結論中正確的是

①④

①④

（把正確結論的序號都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=(

1

2

)2007-(

1

4

)2009
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當時，

∴當時，即時，是減函數(shù)

當時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當時，點的坐標是

設平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

或或，或或

實數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設

由于，故切線的方程是：，又由于點在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當且僅當即時取等號.………………………………………………………………10分

設

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗知時，結論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當時，. ………………………………………………………14分