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如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點(diǎn)。
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

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一．選擇題：CADDC  CBCAC

解析：1.解：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)。故選擇答案C。

2．只要注意到，即可迅速得到答案.

3.特殊值法, 令, 得.

4.應(yīng)注意到函數(shù)是奇函數(shù), 可排除A, B選項(xiàng), 代數(shù)值檢驗(yàn)即得D.

5.可理解為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，故

6.由題意知同族函數(shù)的定義域非空, 且由中的兩個(gè)(這里和中各有一個(gè)), 或三個(gè), 或全部元素組成, 故定義域的個(gè)數(shù)為.

7.設(shè)簽字筆與筆記本的價(jià)格分別是, 2支簽字筆與3本筆記本的金額比較結(jié)果是, 即

   ,已知,,在直角坐標(biāo)系中畫圖,可知直線的斜率始終為負(fù), 故有, 所以選B

8.由已知得小圓半徑, 三點(diǎn)組成正三角形, 邊長(zhǎng)為球的半徑, 所以有

, , 所以球的表面積.

9.設(shè), 則在橢圓中, 有,  ,  而在雙曲線中, 有

    , ,  ∴

10. 解：5個(gè)有效分為84，84，86，84，87；其平均數(shù)為85。利用方差公式可得方差為1.6．

二．填空題：11、；  12、；  13、；  14、；15、；

解析：

11.解：設(shè)向量與的夾角為且∴，則=.

12. 設(shè), 則有,

 根據(jù)小車的轉(zhuǎn)動(dòng)情況,  可大膽猜測(cè)只有時(shí), .

13. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為, 過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于, 連, 在中, , , , ∴

14. 解：把直線代入得

，弦長(zhǎng)為

15.解：連接，PC是⊙O的切線，∴∠OCP=Rt∠．

∵30°，OC==3， ∴，即PC=．

三．解答題：

16.解: （I） 共有種結(jié)果　　　　　　………………4分　

（II） 若用(a,b)來(lái)表示兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有：

（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），

（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）

共12種．                                     　 ………………8分

�。↖II）兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是：P＝ 　　   …………12分

17．（１）若，則， ∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，

∴     ----------3分

（２）當(dāng)時(shí)，．   --------------6分

顯然當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),，又在和處連續(xù)，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).   -----------8分

（3）∵函數(shù)在上為增函數(shù)，且，

∴當(dāng)時(shí)，有，------------------10分

又當(dāng)時(shí)，得且， 即

∴   即得.    ----------12分

18．（１）由已知,  得平面, 

又,   ∴平面, 

∴為二面角的平面角.    ----------3分

由已知,  得,

∵是斜邊 上的中線, 

∴為等腰三角形,  ,

即二面角的大小為.    -------------7分

（２）顯然.  若, 則平面, 

而平面，故平面與平面重合，與題意不符.

由是，則必有，

連BD，設(shè)，由已知得，從而，

又，∴，得，

故平面，                      -----------10分

∴，又，∴平面,  ∴，反之亦然.

∵   ∴ ,  ∴∽  -------12分

∴.    --------14分

19．（１）由題意得，

   -----------3分

又， ∴數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，-----------6分

∴   --------------7分

（2）∵,

  ∴，     ---------12分

∴當(dāng)時(shí)，   ------------14分

20．以為原點(diǎn)，湖岸線為軸建立直角坐標(biāo)系，  設(shè)OA的傾斜角為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

    ，則有　               ………………3分

              -------------7分

    由此得 -------------9分

即 -------------12分

故營(yíng)救區(qū)域?yàn)橹本�與圓圍城的弓形區(qū)域.(圖略)--------14分

21．（１）由題意知，   可得．--------2分

∵， ∴，  有 ．  --------4分

（２）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，                    -------5分

∵ ，  ∴， ．  -------6分

∴,  ∴． ------8分

設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有．

∴在上增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，

從而取得最小，此時(shí) ．    ---------------------11分

設(shè)橢圓方程為，

則，解之得，故 ．--------14分