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如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用，以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問中，利用連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn)  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，已知兩圓交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、B的直線分別與兩圓交于P、Q和M、N．求證：PM∥QN．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣A的逆矩陣A^-1=，求矩陣A．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓在第一象限處的一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M、N，求矩形PMON周長最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
D．（不等式選講）
已知關(guān)于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn)．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A（x，y）變成點(diǎn)A′（13，5），試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
C．已知圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn)．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M所對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A（x，y）變成點(diǎn)A′（13，5），試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
C．已知圓的極坐標(biāo)方程為：．
（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．