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				(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最值. 得 分評卷人			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          已知函數(shù)．
          


          （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
          


          （Ⅱ）設(shè)，若對任意，，不等式 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
          


          【解析】第一問利用的定義域是     
          


          由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
          


          故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是
          


          第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價于只需研究最值即可。
          


          解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分
          


                        ．．．．．．．．．．．．． 2分
          


          由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
          


          故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分
          


          （II）若對任意不等式恒成立，
          


          問題等價于，                  
．．．．．．．．．5分
          


          由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，
          


          故也是最小值點，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分
          


          


          當b<1時，；
          


          當時，；
          


          當b>2時，；            
．．．．．．．．．．．．8分
          


          問題等價于 ．．．．．．．．11分
          


          解得b<1 或 或    即，所以實數(shù)b的取值范圍是  
          


           
          

			
          
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          已知函數(shù)，.
          


          （Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；
          


          （Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式
恒成立.求正整數(shù)的最大值.
          


          【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
          


          第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
          


          解：（1）
          


          ①
          


          


          （2）不等式 ，即，即.
          


          轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.
          


          即不等式在上恒成立.
          


          即不等式在上恒成立.
          


          設(shè)，則.
          


          設(shè)，則，因為，有.
          


          故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
          


          故存在，使得.
          


          當時，有，當時，有.
          


          從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.
          


          又[來源:]
          


          


          所以當時，恒有；當時，恒有；
          


          故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分14分）
          設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)
          （Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論 與 的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得 對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請說明理由。
          

			
          
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          已知函數(shù)，．
          


          （Ⅰ）若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
          


          （Ⅱ）若方程有唯一解，求實數(shù)的值．
          


          【解析】第一問，   
          


          當0<x<2時，，當x>2時，，
          


          要使在(a,a+1)上遞增，必須
          


          如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
          


          由上得出，當時，在上均為增函數(shù)
          


          （Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解
          


          設(shè)  （x>0）
          


          隨x變化如下表
          


          
 
          
  
  
          x
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          -
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          +
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          極小值
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


          由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，
          


          當m=-24-16ln2時，方程有唯一解得到結(jié)論。
          


          （Ⅰ）解：  
          


          當0<x<2時，，當x>2時，，
          


          要使在(a,a+1)上遞增，必須
          


          如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
          


          由上得出，當時，在上均為增函數(shù)  ……………6分
          


          （Ⅱ）方程有唯一解有唯一解
          


          設(shè)  （x>0）
          


          隨x變化如下表
          


          
 
          
  
  
          x
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          -
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          +
          
            		
 
          
 
          
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          極小值
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


          由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，
          


          當m=-24-16ln2時，方程有唯一解
          


           
          

			
          
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          （本題滿分14分）
            
             已知函數(shù)。
            
             （1）求的最大值及取得最大值時的的值；
            
             （2）求在上的單調(diào)增區(qū)間。
          

			
          
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          一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          答案
          B
          A
          B
          D
          C
          D
          C
          D
          二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
          9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1
          三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
          15. （本小題共13分）
          已知函數(shù)
          （Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
          （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最值。
          解：（Ⅰ）由題意                 
          所求定義域為 
{}                     
      …………4分
          （Ⅱ）
                           
         …………9分
          由   知   ， 
          所以當時，取得最大值為；          
        …………11分
          當時，取得最小值為0 。             
     …………13分
          16. （本小題共13分）
          已知數(shù)列中，，點（1，0）在函數(shù)的圖像上。
          （Ⅰ）求數(shù)列 的通項；
          （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項和。       
          解：(Ⅰ)由已知        又        
…………3分
           所以 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列      所以        …………6分
               （Ⅱ） 由                                …………9分
                所以 
              …………13分
          17. （本小題共14分）
          如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。
          （Ⅰ）求所成角的大��；        

          （Ⅱ）求二面角的正切值；
          (Ⅲ) 證明.
          解：（Ⅰ）在正三棱柱中，   
          又  是正△ABC邊的中點，
                                    
    …………3分
          ∠為所成角
          又     sin∠=                     
…………5分
          所以所成角為（）
          （Ⅱ） 由已知得  
             ∠為二面角的平面角，     所以     …………9分
          (Ⅲ)證明:  依題意  得   ，， 
          因為                        …………11分
          又由（Ⅰ）中    知，且，
                     
                          …………14分
          18. （本小題共13分）
          某校高二年級開設(shè)《幾何證明選講》及《數(shù)學(xué)史》兩個模塊的選修科目。每名學(xué)生至多選修一個模塊，的學(xué)生選修過《幾何證明選講》，的學(xué)生選修過《數(shù)學(xué)史》，假設(shè)各人的選擇相互之間沒有影響。
          (Ⅰ)任選1名學(xué)生，求該生沒有選修過任何一個模塊的概率；
          (Ⅱ)任選4名學(xué)生，求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。
          解：(Ⅰ)設(shè)該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
          參加過《數(shù)學(xué)史》的選修為事件B， 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P，
          則
          所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為                    
…………6分
          (Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為
                 
            所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為              
…………13分
          19. （本小題共13分）
          已知函數(shù)的圖像如圖所示。
          (Ⅰ)求的值；
          (Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的        

          解析式；
          （Ⅲ）若=5，方程有三個不同的根，求實數(shù)的取值范圍。
           
解： 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為   
          (Ⅰ)由圖可知 
函數(shù)的圖像過點（0，3），且
            得                         …………3分
          (Ⅱ)依題意 
且 
                   解得  
             所以                                
…………8分
          （Ⅲ）依題意 
                   
由                                       ①
              若方程有三個不同的根，當且僅當 滿足        ②
            由 ① ②  得    
             所以 當  時 ，方程有三個不同的根。     …………13分
          20. （本小題共14分）
                 已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為，線段的垂直平分線交于點M。
          (Ⅰ)求動點M的軌跡的方程；
          (Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設(shè)＝，若∈[2，3]，求的取值范圍。
          解：(Ⅰ)設(shè)M，則，由中垂線的性質(zhì)知
          ||=    
化簡得的方程為                 
…………3分
          （另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以為焦點，以為準線的拋物線
              所以  ，        
則動點M的軌跡的方程為）
          (Ⅱ)設(shè)，由＝  知        ①
          又由 在曲線上知                   ②
          由  ①  ②       解得    所以
有          …………8分
           ===  …………10分
          設(shè) ，∈[2，3]，
有 在區(qū)間上是增函數(shù)，
          得       進而有     

          所以    的取值范圍是                            
…………14分
                         

           
           
           
           
           
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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