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右圖是2008年“隆力奇”杯第13屆CCTV青年歌手電視大獎(jiǎng)賽上某一位選手的部分得分的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，則該選手的所有得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)之和為           

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．   2．   3．   4．   5．1   6．  7．  8． 9．16   10．8　  11．  12．   13．  14． ①③

二、解答題：本大題共6小題，共90分．

15．(1)設(shè)集合中的點(diǎn)為事件，  區(qū)域的面積為36，  區(qū)域的面積為18

．

（2）設(shè)點(diǎn)在集合為事件，  甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)為36個(gè)，其中在集合中的點(diǎn)有21個(gè)，故．

16．（1）由4sinB ? sin²+ cos2B = 1 +得：

，          或．

（2）法1：為銳角          

由已知得：， 角為銳角      可得：

由正弦定理得：．

法2：由得：，  由余弦定理知：

即：          ．

17．（1）證明：連接，取中點(diǎn)，連接．

在等腰梯形中，∥，AB=AD，，E是BC的中點(diǎn)

與都是等邊三角形   

平面    平面

平面    ．

（2）證明：連接交于點(diǎn)，連接

∥，且＝    四邊形是平行四邊形   是線段的中點(diǎn)

是線段的中點(diǎn)      ∥

平面   平面．

（3）與平面不垂直．

證明：假設(shè)平面，  則

平面  

，平面    平面   

，這與矛盾

與平面不垂直．

18．（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

依題意得：，得   ∴  所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，代入橢圓方程得;

  (*)

依題意得：，即 

得：，且方程的根為  

當(dāng)點(diǎn)位于軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線與軸交于點(diǎn)，

直線的方程是：，  

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：

同理可得：當(dāng)點(diǎn)位于軸下方時(shí)，圓的方程為：．

（3）設(shè)，由=得：，代入

（**）    要證=，即證

由方程組（**）可知方程組（1）成立,(2)顯然成立．∴=

19.．解（1）的解集有且只有一個(gè)元素，

當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)上遞減

故存在，使得不等式成立

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)上遞增

故不存在，使得不等式成立

綜上，得a=4，…………………………5分

（2）由（1）可知

當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

（3），

…

+

               =+>

               >    

20解：（1）由的定義可知，（對(duì)所有實(shí)數(shù)）等價(jià)于

（對(duì)所有實(shí)數(shù)）這又等價(jià)于，即

對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立.        （*）

  由于的最大值為，

  故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件

（2）分兩種情形討論

     （i）當(dāng)時(shí)，由（1）知（對(duì)所有實(shí)數(shù)）

則由及易知，

再由的單調(diào)性可知，

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度

為（參見(jiàn)示意圖1）

（ii）時(shí)，不妨設(shè)，則，于是

   當(dāng)時(shí)，有，從而；

當(dāng)時(shí)，有

從而  ；

當(dāng)時(shí)，，及，由方程

      解得圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

                          ⑴

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區(qū)間上，   （參見(jiàn)示意圖2）

故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為。