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設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0 2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作 若一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因?yàn)槭录?i>A、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0.648

(2)系統(tǒng)N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792

故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0.792

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.

故目標(biāo)被擊中的概率為1－P(??)=1－

答案：A

2.解析：Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²=.

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.

答案：A

二、3.解析：由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

答案：0.3

4.解析：因?yàn)槊拷M人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P=.

答案：

三、5.解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B.顯然事件A、B相互獨(dú)立，所以兩人各射擊一次都擊中目標(biāo)的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36

(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是P(A?)=P(A)?P()=0.6×

(1－0.6)=0.6×0.4=0.24

甲未擊中、乙擊中的概率是P(?B)=P()P(B)=0.24，顯然，“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A?與?B互斥，所以恰有一人擊中目標(biāo)的概率是P(A?)+P(?B)=0.24+0.24=0.48

答：其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率是0.48.

(2)兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率P=P(A?B)+［P(A?)+P()?B］=0.36+0.48=0.84

答：至少有一人擊中目標(biāo)的概率是0.84.

6.解：(1)因?yàn)?i>ξ所在區(qū)間上的概率總和為1，所以 (1－a+2－a)?1=1,

∴a=

概率密度曲線如圖：

(2)P(1＜ξ＜)=

7.解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根Δ≥0

而Δ=P²－4()=P²－P－2=(P+1)(P－2)

解得P≤－1或P≥2

故所求概率為P=

8.解：以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則X－B(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2^k0.8^5－k,k=0,1,2,3,4,5.

以Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則

Y=g(X)=

Y的概率分布為：

P(Y=10)=P(X=0)=0.8⁵=0.328

P(Y=5)=P(X=1)=C0.2?0.8⁴=0.410

P(Y=0)=P(X=2)=C?0.2²?0.8³=0.205

P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057

故一周內(nèi)的期望利潤(rùn)為：

EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(萬(wàn)元)