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				求出曲線作用下變換得到的曲線方程             (II)選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
           【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
          


          A.選修4-1：幾何證明選講
          


           
          


          如圖，是⊙O的直徑，弦、的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：
          


          （1）；
          


          （2）．
          


           
          


           
          


           
          


           
          


           
          


          B.選修4-2：矩陣與變換
          


           
          


          求曲線在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程，其中，．
          


           
          


          C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          


           
          


          以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度.已知直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為，又直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的長.
          


           
          


          D.選修4-5：不等式選講
          


           
          


          若存在實數(shù)使成立，求常數(shù)的取值范圍．
          


           
          


           
          

			
          
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          精英家教網(wǎng)本題有（1），（2），（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          如圖所示：△OAB在伸縮變換M作用下變?yōu)椤鱋A1B1．
          （i）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
          （ii）求逆矩陣M-1以及（M-1）20
          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
          已知曲線C1的參數(shù)方程為
          x=2sinθ
          y=cosθ
          （θ為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為
          x=2t
          y=t+1
          （t為參數(shù)）
          （i）若將曲線C1與C2上各點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半，分別得到曲線C1和C2，求出曲線C1和C2的普通方程；
          （ii）以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點且與C2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
          （3）選修4-5：不等式選講
          已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
          b 2
          4
          +
          c 2
          9
          +m-1=0
          （i）求證：a2+
          b 2
          4
          +
          c 2
          9
          ≥
          (a+b+c) 2
          14

          （ii）求實數(shù)m的取值范圍．
          

			
          
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          【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
          A．選修4-1　幾何證明選講
          如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
          B．選修4-2　矩陣與變換
          若點A（2，2）在矩陣M=
          cosα-sinα
          sinαcosα
          對應(yīng)變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣．
          C．選修4-4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知極坐標(biāo)系的極點O與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，
          曲線C1：ρcos(θ+
          π
          4
          )=2
          		2
          與曲線C2：
          x=4t2
          y=4t
          （t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
          D．選修4-5　不等式選講
          已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
          x
          yz
          +
          y
          zx
          +
          z
          xy
          ≥
          1
          x
          +
          1
          y
          +
          1
          z
          ．
          

			
          
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          一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
          1―5 DCCBD    6―10 ACBBB
          二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。
          11．1200    12．―3    13．e    14．2    15．16
          三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
          16．（本小題滿分13分）
          解：（I）由已知
             （II）
           
          


          
 
          
  
  
            



            1. 
   
              
    
    
              
    
                 （I）證明：（1）連接CD1
              ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形
              ∴A1D1//AD，AD//BC，A1D1=AD，AD=BC；
              ∴A1D1//BC，A1D1=BC，
              ∴四邊形A1BCD1為平行四邊形；∴A1B//D1C………3分
              ∵點E、F分別是棱CC1、C1D1的中點；∴EF//D1C
              又∴EF//A1B
              又∵A1B平面A1DB，EF面A1DB；
              ∴EF⊥平面A1BD  ………………6分
                 （II）連結(jié)AC交BD于點G，連接A1G，EG
              ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，
              底面ABCD是菱形
              ∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，
              AD=AB，BC=CD
              ∵底面ABCD是菱形，∴點G為BD中點，
              ∴A1G⊥BD，EG⊥BD
              ∴∠A1GE為直二面角A1―BD―E的平面角，
              ∴∠A1GE=90°………………3分
              在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，
              ∴∠ABC=120°，
              ∴AC=
              ∴AG=GC=  ………………10分
              在面ACC1A1中，△AGA1，△GCE為直角三角形
              ∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°，∴∠EGC=∠AA1G，
              ∴Rt△A1AG∽Rt△ECG ………………12分
              解法二：
                 （I）證明：取AB的中點G，連接GD
              ∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2
              ∴△ABD是正三角形，∴DG⊥AB，DG=
              又∵AB//CD，∴DG⊥DC   …………2分
              ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1為直四棱柱，AA1//DD1
              A1A⊥底面ABCD，∴DD1⊥底面ABCD
              以D為坐標(biāo)原點，射線DG為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，
              建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D―xyz.
              


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              18．解：（I）擲一枚硬幣三次，列出所有可能情況共8種：
                 （上上上），（上上下），（上下上），（上下下），（下上上），（下上下），（下下上），（下下下）；
                  其中甲得2分、乙得1分的有3種，故所求概率  …………3分
                 （II）在題設(shè)條件下，至多還要2局，情形一：在第四局，硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積1分，甲獲勝，概率為1/2；情形二：在第四局，硬幣正面朝下，第五局硬幣正面朝上，則甲積3分、乙積2分，甲獲勝，概率為1/4。由加法公式，甲獲勝的概率為1/2+1/4=3/4。   ………………8分
                 （III）據(jù)題意，ξ的取值為3、4、5，
                  且   ………………11分
                  
                  其分布列如下：
              ξ
              3
              4
              5
              P
              1/4
              3/8
              3/8
                     ………………13分
              19．解：（I）∵F1，F(xiàn)2三等份BD， …………1分
                     ………………3分
                 （II）由（I）知為BF2的中點，
                  
                 （III）依題意直線AC的斜率存在，
               
              


                1. 
 
                  
  
  
                  
   
                  
    
    
                  
    
                      同理可求
                      
                     （III）法二：
                      
                  20．（I）解：
                     （II）切線l與曲線有且只有一個公共點等價
                  ①
                  的唯一解；  ………………7分
                  ②
                   
                   
                  x
                  （―1，0）
                  0
                  +
                  0
                  ―
                  0
                  +
                  極大值0
                  極小值
                  ③
                  x
                  0
                  +
                  0
                  ―
                  0
                  +
                  極大值
                  極小值0
                     （III）
                  21．（I）由已知BA=  ………………2分
                  任取曲線
                  則有=，即有  ………………5分
                    ………………6分
                  即   …………①   與   ………………②
                  比較①②得
                     （II）設(shè)圓C上的任意一點的極坐標(biāo)，過OC的直徑的另一端點為B，
                  邊PO，PB則在直角三角形OPB中， …………5分
                  （寫不扣分）
                  從而有   ………………7分
                     （III）證：為定值，
                  利用柯西不等式得到
                  ………5分