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        1. (Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù).使()有最小值3. -9分 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)

          (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

          (Ⅱ)令g(x)= f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e](e是自然常數(shù))時,函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由;

          (Ⅲ)當(dāng)x∈(0,e]時,證明:

          【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中利用函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)恒小于等于零,然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問中,

          假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使有最小值3,利用,對a分類討論,進(jìn)行求解得到a的值。

          第三問中,

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120293445381201_ST.files/image006.png">,這樣利用單調(diào)性證明得到不等式成立。

          解:(Ⅰ)

          (Ⅱ) 

          (Ⅲ)見解析

           

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          已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當(dāng)時,,則。

          依題意得:,即    解得

          第二問當(dāng)時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

          第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          (Ⅰ)當(dāng)時,,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當(dāng)時,,令

          當(dāng)變化時,的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          ,,!上的最大值為2.

          ②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;

          當(dāng)時, 上單調(diào)遞增!最大值為。

          綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

          當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

          (Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

          不妨設(shè),則,顯然

          是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

           

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