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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，動點(diǎn)P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求證：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）當(dāng)A₁P=A₁B₁時，求CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)A₁P=A₁B₁時，求點(diǎn)C到平面D₁DP的距離．

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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，動點(diǎn)P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求證：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）當(dāng)A₁P=A₁B₁時，求CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)A₁P=A₁B₁時，求點(diǎn)C到平面D₁DP的距離．

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如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，動點(diǎn)P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求證：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）當(dāng)A₁P=

1

2

A₁B₁時，求CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)A₁P=

3

4

A₁B₁時，求點(diǎn)C到平面D₁DP的距離．

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一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分.）

題號

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

D

B

A

 C

D

C

B

C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）    （10） 或     （11）   

（12） ,        （13）     （14）4，8

三、解答題（本大題共6小題,共80分.）

(15)      （共12 分）

解：（I），，

= ?

                                     2分

                                                 4分

= .                                                     5分

又                               6分              

函數(shù)的最大值為.                                             7分

當(dāng)且僅當(dāng)（Z）時，函數(shù)取得最大值為.

（II）由（Z），                          9分

得  （Z）.                                   11分

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[](Z).                     12分                                                                                  

(16) （共14分）

解法一：（I）證明：連結(jié)A₁D,在正方體AC₁中, ∵A₁B₁^平面A₁ADD₁,

\ A₁D是PD在平面A₁ADD₁  內(nèi)的射影.                                  2分

         在正方形A₁ADD₁中， A₁D^ AD₁, \ PD⊥AD₁.                           4分

 解(II)  取中點(diǎn)，連結(jié)，，則//.                              

平面，∴平面.

∴為在平面內(nèi)的射影.

則為CP與平面D₁DCC₁所成的角.                       7分

在中，               

∴與平面D₁DCC₁所成的角的正弦值為.       9分                                       

（III）在正方體AC₁中，∥.

平面內(nèi)，

∴∥平面.

∴點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)C₁到平面的距離相等.

又平面，面，

∴平面平面.

又平面平面，

過C₁作C₁H于H，則C₁H平面.

∴C₁的長為點(diǎn)C₁到平面的距離.                                          12分

 連結(jié)C₁ ，并在上取點(diǎn),使//.

在中，，得.

∴點(diǎn)到平面的距離為.                                                14分

  解法二：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

        由題設(shè)知正方體棱長為4，則、、

、、、.                             1分

      （I）設(shè),.                          3分

           ,  .                             4分

      （II）由題設(shè)可得，  , 故.

， 是平面

的法向量.                      7分

  .          8分                                                               

∴與平面D₁DCC₁所成角的正弦值為.                                    9分

（III），設(shè)平面D₁DP的法向量，

∵.

則，即令，則

.                                                              12分

點(diǎn)C到平面D₁DP的距離為.                                   14分

（17）（共13分）

解（I）設(shè)事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，            1分

依題意，答對一題的概率為，則

P(M)=                                                   3分

=.                                                4分

（II）依題意，某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)=1,2,…,6,                5分

則，，，，

， .                                       11分

所以，的分布列是

1

2

3

4

5

6

P

      設(shè)，

則

      ∴,

      ∴ E==.                       13分 

     答：某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為；某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)為，E為.

（18）（本小題共13分）

解；如圖，建立直角坐標(biāo)系，依題意：設(shè)橢圓方

   程為（a>b>0），         1分

（I）依題意：   4分                                             

橢圓M的離心率大于0.7，所以.

橢圓方程為.                                             6分

（II）因?yàn)橹本�l過原點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)，設(shè)橢圓M的左焦點(diǎn)為.

由對稱性可知，四邊形是平行四邊形.

的面積等于的面積.                                   8分

∵