題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分16分）
在平面直角坐標(biāo)系
中，已知圓心在第二象限、半徑為
的圓
與直線
相切于坐標(biāo)原點(diǎn)
．橢圓
與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為
．
（1）求圓的方程；
（2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)
，使到橢圓右焦點(diǎn)
的距離等于線段
的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系
中，已知圓心在第二象限、半徑為
的圓
與直線
相切于坐標(biāo)原點(diǎn)
．橢圓
與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為
．
（1）求圓的方程；
上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)
，使到橢圓右焦點(diǎn)
的距離等于線段
的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
中，已知圓
：
，圓
：
（
，且
）.
為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)P分別作圓與圓的一條切線，切點(diǎn)分別為
、
，使得
，試求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；
平分圓，求證：直線與圓總相交.（本題滿分16分 ）
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：
(a＞b＞0)，圓O：x2+y2=a2，且過(guò)點(diǎn)A（，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)P的最遠(yuǎn)距離不大于5，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．
 |
（本題滿分16分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
在平面直角坐標(biāo)系
中，對(duì)于直線
：
和點(diǎn)
記
若
<0，則稱點(diǎn)
被直線分隔.若曲線C與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)
被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線.
⑴求證：點(diǎn)
被直線
分隔；
⑵若直線
是曲線
的分隔線，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
⑶動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)
的距離與到
軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.
一、填空
1、
；2、
；3、；4、
；5、
；6、5；7、
；8、
；9、
；
10、
；11、
；12、
；13、
；14、
。
二、解答題
1`5、（本題滿分14分）
解：（1）（設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的”為事件A，則事件A的概率
（2）設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的”為事件B，則事件B的概率為
答：（略）
16、（本題滿分14分）
解：（1）連
，四邊形
菱形 
，
為
的中點(diǎn)， 
又
，
（2）當(dāng)
時(shí)，使得
，連
交
于
，交于
，則為 的中點(diǎn)，又為
邊上中線，為正三角形
的中心，令菱形的邊長(zhǎng)為
，則
，
。
即：
。
17、解：
（1）
，
在區(qū)間
上的值域?yàn)?sub>
（2）
，
，
18、解：（1）依題意，得：
，
。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)圓心
的坐標(biāo)為
，半徑為
。
圓心在
軸上截得的弦長(zhǎng)為
圓心的方程為：
從而變?yōu)椋?sub>
①
對(duì)于任意的
，方程①均成立。
故有：
解得：
所以，圓過(guò)定點(diǎn)（2，0）。
19、解（1）當(dāng)
時(shí)，
令
得 
所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線
在處的切線方程為：
。
（2）①當(dāng)
時(shí)，
，
，
恒成立。 
在
上增函數(shù)。
故當(dāng)
時(shí)，
② 當(dāng)
時(shí)，
，
（）
（i）當(dāng)
即
時(shí)，
在
時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間
上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，
，且此時(shí)
(ii)當(dāng)
，即
時(shí)，在
時(shí)為負(fù)數(shù)，在間
時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)
故當(dāng)
時(shí)，
，且此時(shí)
(iii)當(dāng)
；即 
時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和
時(shí)的最小值都是
。
所以此時(shí)的最小值為
；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為
，而，
所以此時(shí)的最小值為。
當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為
，
而，所以此時(shí)的最小值為
所以函數(shù)的最小值為
20、解：（1）設(shè)數(shù)列
的公差為
，則
，
，
依題得：
，對(duì)
恒成立。
即：
，對(duì)恒成立。
所以
，即：
或
，故
的值為2。
（2）
所以，
① 當(dāng)
為奇數(shù)，且
時(shí)，
。
相乘得
所以 
當(dāng)
也符合。
② 當(dāng)為偶數(shù)，且
時(shí)，
， 
相乘得
所以 
，所以 
。因此 
，當(dāng)
時(shí)也符合。
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
。
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
為偶數(shù)，
所以
南京市2009屆高三第一次調(diào)研試
數(shù)學(xué)附加題參考答案
21、選做題
.選修
：幾何證明選講
證明：因?yàn)?sub>
切⊙O于點(diǎn)
，所以
因?yàn)?sub>
，所以 
又A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以 
所以 
又
，所以
∽
所以
即
所以 
即：
B.選修4-2：矩陣與變換
解:由題設(shè)得
,設(shè)
是直線
上任意一點(diǎn),
點(diǎn)在矩陣
對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?sub>
,
則有
, 即 
,所以
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,從而
,即：
所以曲線
的方程為 
C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解： 直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)）故直線的普通方程為
因?yàn)?sub>為橢圓
上任意點(diǎn)，故可設(shè)
其中
。
因此點(diǎn)
到直線的距離是
所以當(dāng)
，
時(shí)，取得最大值
。
D．選修4-5：不等式選講
證明：
，所以 
必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。
22、解：（1）設(shè)圓
的半徑為。
因?yàn)閳A與圓
，所以
所以
，即：
所以點(diǎn)的軌跡是以
為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為
其中 
，所以
所以曲線的方程
（2）因?yàn)橹本�過(guò)橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，
因?yàn)?sub>
，所以
。
不妨設(shè)點(diǎn)
在
軸上方，則
。
所以
，
，即：點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
所以直線的斜率為
，故所求直線方和程為
23、（1）當(dāng)
時(shí)，
原等式變?yōu)?/p>
令
得 
（2）因?yàn)?sub>
所以
①當(dāng)時(shí)。左邊=
，右邊
左邊=右邊，等式成立。
②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，等式成立，即
那么，當(dāng)
時(shí)，
左邊
右邊。
故當(dāng)時(shí)，等式成立。
綜上①②，當(dāng)
時(shí)，
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