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如圖，在四棱錐S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E為BS的中點，CE=

2

，AS=

3

，求：
（Ⅰ）點A到平面BCS的距離；
（Ⅱ）二面角E-CD-A的大�。�

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如圖2所示，在邊長為12的正方形AA'A'₁A₁中，點B，C在線段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A'₁、AA'₁于點B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁A'₁、AA'₁于點C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A'A₁′與AA₁重合，構(gòu)成如圖3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直線AP與直線A₁Q所成角的余弦值．

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如圖，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=C₁C，∠BCC₁=

π

3

，
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的條件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

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1．解：依題設(shè)有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設(shè)平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設(shè)（）

，由得

即，

當(dāng)時，

當(dāng)時，∴   ……………………………………10分