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已知曲線C₁：（e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點分別為A_m和B_m，問是否存在正整數(shù)n，使得AB=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請說明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

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已知曲線C₁：（e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點分別為A_m和B_m，問是否存在正整數(shù)n，使得AB=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請說明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

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已知曲線C₁：（e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點分別為A_m和B_m，問是否存在正整數(shù)n，使得AB=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請說明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

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已知曲線C₁：y=+e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線m：y=2x．
（I）求證：直線m與曲線C₁、C₂都相切，且切于同一點；
（II）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁、C₂及直線m分別交于M、N、P，記f（t）=|MP|-|PN|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值．

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1．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分