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（本小題滿分12分）
第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國(guó)大會(huì)將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
                       男             女
                               15    7  7  8  9  9  9
9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9
8  6  5  0   17    2  5  6
7  4  2  1   18    0 
1  0   19
若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個(gè)子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個(gè)子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個(gè)子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個(gè)子”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取6人，則應(yīng)分別抽取“高個(gè)子”、“非高個(gè)子”各幾人？
（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

C

A

A

D

C

B

A

D

B

B

二、填空題

13．   14.     15.７５００    16.

三、解答題

１７．證明：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)M,連FM,MC, ┅┅┅┅2分

∵ F、M分別是AE、BA的中點(diǎn)  

∴ FM∥EB, FM=EB=CD, ┅┅┅┅┅┅┅４分

∵ EB、CD都垂直于平面ABC 

∴ CD∥BE∴ CD∥FM,

∴四邊形FMCD是平行四邊形,

∴ FD∥MC.又∵

∴FD∥平面ABC                 ┅┅┅┅┅┅┅６分          

（Ⅱ）∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，CA=CB，

∴CM⊥AB, ┅┅┅┅┅┅┅８分

又  CM⊥BE, ∴CM⊥面EAB, ∴CM⊥BF, ∴FD⊥BF, ┅┅┅┅┅┅┅１０分

∵F是AE的中點(diǎn), EB=AB∴BF⊥EA. ∴BF⊥平面ADE      ┅┅┅┅┅┅┅１２分

18解：

（Ⅰ）實(shí)數(shù)對(duì)有

共16種不同的情況，有16條不同的直線．┅┅┅┅┅┅┅４分

當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)為時(shí)，直線的斜率，直線傾斜角大于，

所以直線傾斜角大于的概率為；┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差，即，┅┅┅┅┅┅┅８分

當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)為時(shí)，┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差小于7的概率為. ┅┅┅┅１２分

19解：（1）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因?yàn)?sub>，所以，所以，

即的取值范圍為 ┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以 ┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時(shí)取到. ┅┅┅┅┅┅┅１２分

20解：（Ⅰ）的首項(xiàng)為，所以 ┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1

┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即 ┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１２分

21解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，∵，∴為直角三角形，                 ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2a=4，∴a=2．又，可得．

∴所求圓C與橢圓C₁的方程分別是和． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ2） F，設(shè)，,

當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)為（），可得，∴PFOQ.

當(dāng)時(shí)，，可以解得，也有PFOQ.  ┅┅┅6分

當(dāng)且時(shí)，OP的斜率為，則切線PQ的斜率為，則PQ的方程為：化簡(jiǎn)為：，          ┅┅┅8分

與交得Q點(diǎn)坐標(biāo)為             ┅┅┅10分

則，

∴PFOQ.

綜上，直線PF與直線OQ垂直.                       ┅┅┅12分

22解：（Ⅰ） ┅┅┅┅┅┅┅２分

①當(dāng)，即，在Ｒ上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當(dāng)，即

兩個(gè)根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；

在上有，即在單調(diào)遞減．┅┅┅┅┅┅┅８分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)函數(shù)有極值，

當(dāng)時(shí)，，所以不符合題意.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)都為正數(shù)

┅┅┅┅┅┅┅１０分

有極大值，極小值，所以

，

又因?yàn)?sub>，

所以

=，┅┅┅┅┅┅┅１２分

令，則，所以時(shí)單調(diào)遞增，所以，即極值之和小于. ┅┅┅┅┅┅┅１４分