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一次數(shù)學(xué)考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，設(shè)計(jì)試卷時(shí)，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為，且每題答對(duì)與否相互獨(dú)立，同時(shí)規(guī)定：每題選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得0分。
（1）當(dāng)n=6時(shí)，
①分別求考生10道題全答對(duì)的概率和答對(duì)8道題的概率；
②問考生答對(duì)幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分?jǐn)?shù)的期望不小于40分，求n的最小值。

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空題

13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

16. 　　　　　�。保罚�45^o  　　　　　　　　１８．

三、解答題

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因?yàn)?sub>，所以，所以，

即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時(shí)取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以

又因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中點(diǎn)，連接，

由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，

所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨設(shè)，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

過點(diǎn)作的垂線交于，連接.

因?yàn)?sub>，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因?yàn)槎�面�?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）從盒中一次性取出三個(gè)球，取到白球個(gè)數(shù)的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望為，所以，即盒中有 3個(gè)紅球，2 個(gè)白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列為

0

1

2

3

P

                                                          ┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =                                

答：紅球的個(gè)數(shù)為2，的數(shù)學(xué)期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，

∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，    

同理PB的方程為                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時(shí)過P點(diǎn)，則x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

      從而得到、

所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

當(dāng)且僅當(dāng).           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①當(dāng)，即，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當(dāng)，即

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，且，所以在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸在右側(cè)，且，

兩個(gè)根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；在上有，即在單調(diào)遞減.

綜上：時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，有極大值，極小值，所以

，又因?yàn)?sub>，

┅┅┅１2分

所以

=