題目列表(包括答案和解析)
設橢圓 
：
（
）的一個頂點為
，
，
分別是橢圓的左、右焦點，離心率
，過橢圓右焦點
的直線 
與橢圓 
交于
，
兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線 ，使得
，若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由；
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。（1）中橢圓的頂點為
，即
又因為
，得到
，然后求解得到橢圓方程（2）中，對直線分為兩種情況討論，當直線斜率存在時，當直線斜率不存在時，聯(lián)立方程組，結合得到結論。
解：（1）橢圓的頂點為，即
，解得，
橢圓的標準方程為
--------4分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意． --------5分
②當直線斜率存在時，設存在直線為
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直線的方程為
或
即
或
已知中心在坐標原點，焦點在
軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為
．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點
(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
？若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中，可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中，
假設存在這樣的直線
,設
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線
,其斜率k的取值范圍是
已知函數(shù)
，其中
.
（1）若
在
處取得極值，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）討論函數(shù)在
的單調性；
（3）若函數(shù)在
上的最小值為2，求
的取值范圍.
【解析】第一問，
因在處取得極值
所以，
，解得
，此時
，可得求曲線在點
處的切線方程為：
第二問中，易得
的分母大于零，
①當
時，
，函數(shù)在上單調遞增；
②當
時，由可得
，由
解得
第三問，當時由（2）可知，在上處取得最小值
，
當時由（2）可知在
處取得最小值
，不符合題意.
綜上，函數(shù)在上的最小值為2時，求的取值范圍是
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