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				(1)證明:∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB.又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD.∴PD⊥平面ABE.故BE⊥PD.  (2)解:以A為原點(diǎn).AB.AD.AP所在直線為坐標(biāo)軸.建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)C.D的坐標(biāo)分別為(a.a.0).(0.2a.0).  ∵PA⊥平面ABCD.∠PDA是PD與底面ABCD所成的角.∴∠PDA=30°.  于是.在Rt△AED中.由AD=2a.得AE=a.過(guò)E作EF⊥AD.垂足為F.在Rt△AFE中.由AE=a.∠EAF=60°.得AF=.EF=a.∴E(0.a)  于是.={-a.a.0}  設(shè)與的夾角為θ.則由cosθ=    ∴θ=arccos.即AE與CD所成角的大小為arccos.  評(píng)述:第(2)小題中.以向量為工具.利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積.求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題和處理手段.			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
          


          （Ⅰ）證明PC⊥AD；
          


          （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
          


          （Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).
          


           
          


          【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.
          


          


          （1）證明：易得，于是,所以
          


          (2) ,設(shè)平面PCD的法向量，
          


          則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
          


          所以二面角A-PC-D的正弦值為.
          


          （3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.
          


          由，故 
          


          所以，，解得，即.
          


          解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.
          


          


          (2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.
          


          因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，
          


          因此所以二面角的正弦值為.
          


          （3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故
          


          


          在中，由,,
          


          可得.由余弦定理，,
          


          所以.
          


           
          

			
          
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