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（2013•崇明縣二模）某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時刻x（時） 的關(guān)系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并選擇其中一種情形進(jìn)行證明；
（2）若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)M（a）是否超標(biāo)？

（2013•東莞二模）已知函數(shù)g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實數(shù)a的范圍內(nèi)，若存在一個與a有關(guān)的負(fù)數(shù)M，使得對任意x∈[M，0]時|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相應(yīng)的a值．

某市環(huán)境研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時間x（小時）的關(guān)系為f(x)=|

1

2

sin(

π

32

x)+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

3

4

]．若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin(

π

32

x)，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)M（a）；
（Ⅲ）為加強對環(huán)境污染的整治，市政府規(guī)定每天的綜合環(huán)境污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是多少？是否超標(biāo)？

對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實數(shù)軸（箭頭向右）上[x]是在點x左側(cè)的第一個整數(shù)點，當(dāng)x是整數(shù)時[x]就是x．這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”也叫高斯（Gauss）函數(shù)．
從[x]的定義可得下列性質(zhì)：x-1＜[x]≤x＜[x+1]．
與[x]有關(guān)的另一個函數(shù)是{x}，它的定義是{x}=x-[x]，{x}稱為x的“小數(shù)部分”．
（1）根據(jù)上文，求{x}的取值范圍和[-5，2]的值；
（2）求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．