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已知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若過F₁且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為，求雙曲線的方程．

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一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

（1）B       （2）A        （3）B      （4）A     （5）C       （6）D

（7）A       （8）C        （9）B      （10）A    （11）D      （12）B

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

（13）      （14）      （15）     

（16）

三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分10分）

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

故      ，

_{又      ，}

_{故      ，}

_{即      ，}

_{故      .}

_{因?yàn)?nbsp;   ，}

_{故      ，}

      又      為三角形的內(nèi)角，

所以    .                    ………………………5分

解法二：由余弦定理得  .

      將上式代入    整理得．

      故      ，  

又      為三角形內(nèi)角，

所以    ．                    ………………………5分

（Ⅱ）解：因?yàn)?sub>．

故      ，

由已知  得

又因?yàn)?nbsp; .

得      ，

所以    ，

解得    .    ………………………………………………10分

（18）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）證明：

             ∵面，面，

             ∴．

             又∵底面是正方形，

       ∴．

             又∵，

       ∴面，

       又∵面，

       ∴平面平面．    ………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，在中，.

∴、、、、、．

∵為的中點(diǎn)，，

∴．

        設(shè)是平面的一個(gè)法向量．

則由 可求得.

由（Ⅰ）知是平面的一個(gè)法向量，

且，

∴，即.

∴二面角的大小為． ………………………………………12分

  解法二：

         設(shè)，則，

在中，.

設(shè)，連接，過作于，

連結(jié)，由（Ⅰ）知面.

∴在面上的射影為，

∴．

故為二面角的平面角.

在中，，，．

∴，

∴.

∴.

即二面角的大小為． …………………………………12分

（19）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：設(shè)、兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為、_．

由題意得：               …………2分

∴．

即一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為.             …………6分

（Ⅱ）設(shè)該工人一個(gè)月生產(chǎn)的20件新產(chǎn)品中合格品有件，獲得獎(jiǎng)金元，則

．        ………………8分

～，,               ………………10分

．

即該工人一個(gè)月獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是800元．      ………………12分

（20）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為，，

由，及勾股定理得，

由雙曲線定義得 ．

則．                ………………………………………5分

（Ⅱ），，故雙曲線的兩漸近線方程為．

因?yàn)?sub>過， 且與同向，故設(shè)的方程為，

則

又的面積，所以．

可得與軸的交點(diǎn)為．

設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

由得；由得．

故，

，，

從而．

故的取值范圍是.  …………………………12分

（21）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），

．

又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，

  在上恒成立，等價(jià)于

  在上恒成立.

又，

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，

  的最小值為．         ………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：函數(shù)為奇函數(shù)，

  ， ，  ………………………………7分

.

切點(diǎn)為，其中，

則切線的方程為：   ……………………8分

由，

得.

又，

，

，

，

或，由題意知，

從而.

，

，

.                    ………………………………………12分

（22）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解: 由，得

，.               …………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得， ………………………4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)時(shí)，成立.

②假設(shè)時(shí)，成立，

那么

所以當(dāng)時(shí)，等式也成立.

由①、②得對(duì)一切成立.  ……………8分

（Ⅲ）證明: 設(shè)，則，

所以在上是增函數(shù)．

故．

即．

因?yàn)?sub>，

故．

=.…………12分

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