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已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

已知函數(shù) R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點(diǎn)  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問中，利用當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，                 

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

，                                  

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，                  

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以恒成立，

故在上單調(diào)遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

即．                  ……10分

（2）當(dāng)時(shí)，令，對稱軸，

則在上單調(diào)遞增，又    

① 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

即，不合題意，舍去  

②當(dāng)時(shí)，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知函數(shù)．

（1）求在區(qū)間上的最大值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)的最值。第一問中，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，首先求解導(dǎo)數(shù)，然后利用極值和端點(diǎn)值比較大小，得到結(jié)論。第二問中，我們利用函數(shù)在上存在遞減區(qū)間，即在上有解，即，即可，可得到。

解：（1）， 

令，解得                 ……………3分

，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

            

 

 

 

 

 

．          …………6分

（2）

在上存在遞減區(qū)間，在上有解，……9分

在上有解， ，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為  

 

汕頭二中擬建一座長米，寬米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔米（，為正常數(shù)）需打建一個(gè)樁位，每個(gè)樁位需花費(fèi)萬元（樁位視為一點(diǎn)且打在長方形的邊上），樁位之間的米墻面需花萬元，在不計(jì)地板和天花板的情況下，當(dāng)為何值時(shí)，所需總費(fèi)用最少？

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。先求需打個(gè)樁位．再求解墻面所需費(fèi)用為：，最后表示總費(fèi)用，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，求解最值。

解：由題意可知，需打個(gè)樁位． …………………2分

墻面所需費(fèi)用為：，……4分

∴所需總費(fèi)用（）…7分

令，則 

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴當(dāng)時(shí)，取極小值為．而在內(nèi)極值點(diǎn)唯一，所以．∴當(dāng)時(shí)，（萬元），即每隔3米打建一個(gè)樁位時(shí)，所需總費(fèi)用最小為1170萬元．