題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列
是首項為
的等比數(shù)列，且滿足
.
（1） 求常數(shù)
的值和數(shù)列的通項公式；
（2） 若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第
項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列
，試寫出數(shù)列的通項公式；
（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前
項和為
.是否存在正整數(shù)，使得
？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
【解析】第一問中解：由
得
，，
又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列
為等比數(shù)列，
則
即
，所以p=1
故數(shù)列為首項是2，公比為2的等比數(shù)列，即
.
此時
也滿足，則所求常數(shù)的值為1且
第二問中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：
（i）當(dāng)
時，
；
（ii） 當(dāng)
時，
，
所以
第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則
，
則（i）當(dāng)時，
，
已知數(shù)列
滿足
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）若數(shù)列
中
，前
項和為
，且
證明：
【解析】第一問中，利用
，
∴數(shù)列{
}是以首項a1+1，公比為2的等比數(shù)列，即
第二問中，
進一步得到得
即
即
是等差數(shù)列.
然后結(jié)合公式求解。
解：（I） 解法二、，
∴數(shù)列{}是以首項a1+1，公比為2的等比數(shù)列，即
（II） ………②
由②可得：
…………③
③－②，得 即 …………④
又由④可得
…………⑤
⑤－④得
即
是等差數(shù)列.
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已知數(shù)列
中，
，
，數(shù)列
中，
，且點
在直線
上。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前
項和
；
（3）若
，求數(shù)列
的前項和
；
【解析】第一問中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式
，因此得到數(shù)列的通項公式；
第二問中，在 即為：
即數(shù)列是以
的等差數(shù)列
得到其前n項和。
第三問中， 又 
，利用錯位相減法得到。
解：（1）
即數(shù)列
是以
為首項，2為公比的等比數(shù)列
……4分
（2）在 即為：
即數(shù)列是以的等差數(shù)列
……8分
（3） 又
① 
②
①- ②得到
已知數(shù)列
的前n項和
，數(shù)列
有
，
（1）求的通項；
（2）若
，求數(shù)列
的前n項和
．
【解析】第一問中，利用當(dāng)n=1時，
當(dāng)
時，
得到通項公式
第二問中，∵ ∴
∴數(shù)列
是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用錯位相減法得到。
解：（1）當(dāng)n=1時，
……………………1分
當(dāng)時， ……4分
又
∴
……………………5分
（2）∵ ∴
∴
……………………7分
又∵，
∴ 
∴數(shù)列 是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴
……………………9分
∴
∴
①
②
①-②得：
∴
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的首項為a，公差為b；等比數(shù)列
的首項為b，公比為a，其中a，b∈N+，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．
≥
(n∈N+)．