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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          

          
	
          
				
          

			
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          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          （本小題滿分12分）
          


          第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國(guó)大會(huì)將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
          


                                 男             女
          


                                         15   
7  7  8  9  9  9
          


          9  8   16   
0  0  1  2  4  5  8  9
          


          8  6  5 
0   17    2  5  6
          


          7  4  2 
1   18    0 
          


          1  0   19 
          


          若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個(gè)子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個(gè)子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個(gè)子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個(gè)子”．
          


          （1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取6人，則應(yīng)分別抽取“高個(gè)子”、“非高個(gè)子”各幾人？
          


          （2）從（1）中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分12分）
          


          編號(hào)為的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：
          


          
 
          
  
  
          運(yùn)動(dòng)員編號(hào)
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          得分
          
            		
  
  
          15
          
            		
  
  
          35
          
            		
  
  
          21
          
            		
  
  
          28
          
            		
  
  
          25
          
            		
  
  
          36
          
            		
  
  
          18
          
            		
  
  
          34
          
            		
 
          
 
          
  
  
          運(yùn)動(dòng)員編號(hào)
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          得分
          
            		
  
  
          17
          
            		
  
  
          26
          
            		
  
  
          25
          
            		
  
  
          33
          
            		
  
  
          22
          
            		
  
  
          12
          
            		
  
  
          31
          
            		
  
  
          38
          
            		
 
          

          


          （Ⅰ）將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格；
          


          
 
          
  
  
          區(qū)間
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          人數(shù)
          
            		
  
  
           
          
            		
  
  
           
          
            		
  
  
           
          
            		
 
          

          


          （Ⅱ）從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，
          


          （i）用運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；
          


          （ii）求這2人得分之和大于50的概率．
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分12分）
          


          為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動(dòng)成績(jī),從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測(cè)試，學(xué)生成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績(jī)小于16秒為達(dá)標(biāo)．
          


          （Ⅰ）用樣本估計(jì)總體，某班有學(xué)生45人,設(shè)為達(dá)標(biāo)人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望與方差；
          


          （Ⅱ）如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn),則男女生達(dá)標(biāo)情況如右表：
          


          根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個(gè)更好的解決方法來(lái)？
          


          附：   
          


          


           
          


          


           
          


          
 
          
  
  
          性別
          
  
          是否
          
  
          達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          男
          
            		
  
  
          女
          
            		
  
  
          合計(jì)
          
            		
 
          
 
          
  
  
          達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          _____
          
            		
  
  
          _____
          
            		
 
          
 
          
  
  
          不達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          ___
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          _____
          
            		
 
          
 
          
  
  
          合計(jì)
          
            		
  
  
          ______
          
            		
  
  
          ______
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


           
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分12分）
          


          某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組……第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. 
          


          


          （I）若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；
          


          （II）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米測(cè)試成績(jī)，且已知.
          


          求事件“”的概率.
          


           
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分12分）
          


          為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動(dòng)成績(jī),從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測(cè)試，學(xué)生成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
          


          


          （Ⅰ）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0．1）；
          


          ( II )根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績(jī)小于16秒為達(dá)標(biāo)．
          


          (ⅰ)用樣本估計(jì)總體，某班有學(xué)生45人,設(shè)
          


          為達(dá)標(biāo)人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望與方差．
          


              (ⅱ)如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn),則男女 
          


          生達(dá)標(biāo)情況如下表
          


          
 
          
  
  
          性別
          
  
          是否達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          男
          
            		
  
  
          女
          
            		
  
  
          合計(jì)
          
            		
 
          
 
          
  
  
          達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          ______
          
            		
  
  
          _____
          
            		
 
          
 
          
  
  
          不達(dá)標(biāo)
          
            		
  
  
          _____
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          _____
          
            		
 
          
 
          
  
  
          合計(jì)
          
            		
  
  
          ______
          
            		
  
  
          ______
          
            		
  
  
          
            		
 
          

          


           
          


          根據(jù)上表數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個(gè)更好的解決方法來(lái)？
          


           
          

			
          
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          一、填空題
          1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；
          6．；     
7．；   8．3；    9．．   10．
          11．；   12．；  13．；      14．．
          二、解答題
          15．解：（1）由得：
          ，
          由正弦定理知:  ，
          （2），
          由余弦定理知：
          16．解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接
          因?yàn)?sub>是正三角形，
          所以
          又是正三棱柱，
          所以面，所以
          所以有面
          因?yàn)?sub>面
          所以；
          （Ⅱ）為的三等分點(diǎn)，．
          連結(jié)，，
          ∵ ，∴ ．
          ∴ ， ∴ 
          又∵面，面
          ∴ 平面
          17．解 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
          又由知，
          所以
             （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．
          當(dāng)且時(shí)，由，得．
          又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)．
          在△QF1F2中，，所以有
          綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 
          （Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
          由③得，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；
          當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M．
          當(dāng)時(shí)，，
          由，
          ，
          ，得
          18．解：（1）（或）（）
          （2）
          當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)
          所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．
          （3）解法1：由題意得不等式： 
          當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí)，，代入整理得：，解得；
          當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí)，，代入整理得：，解得
          又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
          解法2. 解方程，即得兩個(gè)根為
          由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用超過(guò)8000元，所以V取得最小值  
          由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對(duì)于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時(shí)，保護(hù)罩底面積最小， m2  
          又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米 
          19．解：（Ⅰ）令得 
          當(dāng)為增函數(shù)；
          當(dāng)為減函數(shù)，
          可知有極大值為 
          （Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
          設(shè)
          由（Ⅰ）知，，
          （Ⅲ），由上可知在上單調(diào)遞增，
            ①， 
           同理  ②
          兩式相加得
           
          20．解：（1）證明：因?yàn)?sub>
          所以即 
          可化為:
          當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)
          故  
          （2）因?yàn)?sub>
           =
           = 
          又由可知 =
          即 = 
          解之得  
          故得所以
          因此的通項(xiàng)公式為.. 
             （3）解：
          所以
          即S的最大值為
          三、附加題
          21A．（1）∵DE2=EF?EC，∴DE :
CE=EF: ED．
                   
∵ÐDEF是公共角，
                   
∴ΔDEF∽ΔCED． 
∴ÐEDF=ÐC．
                   
∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．
                   
∴ÐP=ÐEDF． 
          （2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，
               ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
              
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 
          21B．法一：特殊點(diǎn)法
          在直線上任取兩點(diǎn)（2、1）和（3、3），…………1分
          則?即得點(diǎn)  …………3 分
          即得點(diǎn)
          將和分別代入上得
          則矩陣 …………6 分
          則    
…………10 分
          法二：通法
          設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分
          則…………3分
          代入得：
          其與完全一樣得
          則矩陣        
…………6分
          則          
…………10分
          21C．法一：將直線方程化為，    ………4分
          ，                      
………6分
          設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，M，則 ，    ………8分
          又 ，得；                       
………10分
          法二：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 
          將直線方程化為，………………4分
          設(shè)P，M，，………6分
          又MPO三點(diǎn)共線，， …………8分
          轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．   ………10分
          21D．證明：  ∵a、b、c均為實(shí)數(shù)．
          ∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立； 
          （＋）≥≥，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立； 
          （＋）≥≥． 
          三個(gè)不等式相加即得++≥++，
          當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立. 
          22．解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
          則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
           cos<>． 
          由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是． 
          （II），，
          設(shè)平面ABE的法向量為，
          則由，，得
          取n＝（1，2，2），
          平面BEC的一個(gè)法向量為n2＝（0，0，1）， 
          ．
          由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．
          23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，
          ，
          故的分布列為：
          6
          2
          1
          -2
          0.63
          0.25
          0.1
          0.02
           
          （2）
          （3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為
          依題意，，即，解得 所以三等品率最多為
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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