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如圖，雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線為l₁，l₂，離心率為

13

3

，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且

OP1

•

OP2

=t，

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），P在雙曲線C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面積為6，求t的值；
（2）t=5時，求a最大時雙曲線C的方程．

如圖，雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線為l₁，l₂，離心率為

13

3

，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且

OP1

•

OP2

=t，

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），P在雙曲線C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面積為6，求t的值；
（2）t=5時，求a最大時雙曲線C的方程．

已知橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，C₂的左、右頂點分別為C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B，且

OA

•

OB

＞2（O為原點），求k的取值范圍；
（3）設(shè)P₁，P₂分別是C₂的兩條漸近線上的點，點M在C₂上，且

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，求△P₁OP₂的面積．

已知函數(shù)f(x)=

a•2x

2x+ 2

的圖象過點(0，

2

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為y=f（x）的圖象上兩個不同點，又點P（x_P，y_P）滿足：

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，其中O為坐標(biāo)原點．試問：當(dāng)xP=

1

2

時，y_P是否為定值？若是，求出y_P的值，若不是，請說明理由．