題目列表(包括答案和解析)
A．70 B．140 C．420 D．840
（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分12分)隨著機(jī)構(gòu)改革的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員2a人（140<2a<420，且a為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利b萬元. 據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬元，但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的
. 為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？
隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員
人（140<<420，且
為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利
萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利
萬元，但公司需付下崗職員每人每年
萬元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的
，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？（12分）
隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員
人（140<<420，且
為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利
萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利
萬元，但公司需付下崗職員每人每年
萬元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的
，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？
如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為
的半圓形空地，
外的地方種草，的內(nèi)接正方形
為一水池,其余地方種花.若
,設(shè)的面積為
，正方形的面積為
，將比值
稱為“規(guī)劃合理度”.
（1）試用
,
表示和.
（2）當(dāng)為定值，變化時,求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角的大小.
【解析】第一問中利用在
ＡＢＣ中 
，
＝
設(shè)正方形的邊長為
則 
然后解得
第二問中，利用
而
＝
借助于 
為減函數(shù)
得到結(jié)論。
（1）、 如圖，在ＡＢＣ中 ，
＝
設(shè)正方形的邊長為 則
＝
（2）、 而＝
∵0 < <
,又0 <２ <
,
０<t£１ 為減函數(shù)
當(dāng)
時 
取得最小值為
此時
例10 為促進(jìn)個人住房商品化的進(jìn)程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：
貸款期(年數(shù))
公積金貸款月利率(‰)
商業(yè)性貸款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
(1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少?
(參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
講解 設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
第1月末欠款數(shù) A(1＋r)－a
第2月末欠款數(shù) [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款數(shù) [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第n月末欠款數(shù)
得：
對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
∴
對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當(dāng)月的計劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．
需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進(jìn)行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.
例11 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實驗，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．
（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？（精確到天）
（2）第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）
已知：lg2=0.3010．
講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時間n的函數(shù)為, 則由
兩邊取對數(shù)得 n27.5,
即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,
再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,
由題意≤108，兩邊取對數(shù)得
，
故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．
本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.
例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).
（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；
（2）求證：當(dāng)g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
講解（1）∵g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我們易證得0<t1<t2, 則
g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
∴g(t1)<g(t2) .
故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.
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