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        1. 故得對(duì)任意的恒成立. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)的最小值為0,其中

          (Ⅰ)求的值;

          (Ⅱ)若對(duì)任意的成立,求實(shí)數(shù)的最小值;

          (Ⅲ)證明).

          【解析】(1)解: 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

          ,得

          當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下表:

          x

          -

          0

          +

          極小值

          因此,處取得最小值,故由題意,所以

          (2)解:當(dāng)時(shí),取,有,故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí),令,即

          ,得

          ①當(dāng)時(shí),上恒成立。因此上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

          ②當(dāng)時(shí),,對(duì)于,,故上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí),,即不成立.

          不合題意.

          綜上,k的最小值為.

          (3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

          當(dāng)時(shí),

                                

                                

          在(2)中取,得

          從而

          所以有

               

               

               

               

                

          綜上,

           

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          已知函數(shù)

          (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          (Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意,,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

          【解析】第一問(wèn)利用的定義域是     

          由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

          故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是

          第二問(wèn)中,若對(duì)任意不等式恒成立,問(wèn)題等價(jià)于只需研究最值即可。

          解: (I)的定義域是     ......1分

                        ............. 2分

          由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

          故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是     ........4分

          (II)若對(duì)任意不等式恒成立,

          問(wèn)題等價(jià)于,                   .........5分

          由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),

          故也是最小值點(diǎn),所以;            ............6分

          當(dāng)b<1時(shí),

          當(dāng)時(shí),

          當(dāng)b>2時(shí),;             ............8分

          問(wèn)題等價(jià)于 ........11分

          解得b<1 或 或    即,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是 

           

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          已知函數(shù) R).

          (Ⅰ)若 ,求曲線  在點(diǎn)  處的的切線方程;

          (Ⅱ)若  對(duì)任意  恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

          【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

          第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),

          因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,                 

          所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:

          第二問(wèn)中,由題意得,即可。

          Ⅰ)當(dāng)時(shí),

          ,                                  

          因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,                  

          所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:.    ……5分

          (Ⅱ)解法一:由題意得,.      ……9分

          (注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)

          ,           

          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,

          上單調(diào)遞增,                            ……12分

          要使恒成立,則,解得.……15分

          解法二:                 ……7分

                (1)當(dāng)時(shí),上恒成立,

          上單調(diào)遞增,

          .                  ……10分

          (2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱軸

          上單調(diào)遞增,又    

          ① 當(dāng),即時(shí),上恒成立,

          所以單調(diào)遞增,

          ,不合題意,舍去  

          ②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分

          綜上所述: 

           

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          已知函數(shù).

          (Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;

          (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

          【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來(lái)分析求解。

          第二問(wèn)中,利用存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。

          解:(1)

          (2)不等式 ,即,即.

          轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立.

          即不等式上恒成立.

          即不等式上恒成立.

          設(shè),則.

          設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.

          在區(qū)間上是減函數(shù)。又

          故存在,使得.

          當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.

          從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.

          [來(lái)源:]

          所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有

          故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

           

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          已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

          (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

          (2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.

          【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,

          由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

          解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即

          解得(舍去).      …………3分

          所以,.        …………6分

          (2)不等式等價(jià)于,

          當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

          ,所以猜想,的最小值為.     …………8分

          下證不等式對(duì)任意恒成立.

          方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

          當(dāng)時(shí),,成立.

          假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,

          當(dāng)時(shí),, …………10分

          只要證  ,只要證  ,

          只要證  ,只要證 

          只要證  ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分

          方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.

          要證 

          只要證  ,  

          設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,        …………10分

          ,    …………12分

          所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

          ,所以恒成立,

          的最小值為

           

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