題目列表(包括答案和解析)
| 1 |
| x |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| f(b)-f(a) |
| b-a |
| f(b)-f(a) |
| b-a |
已知函數(shù)
的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無(wú)解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知函數(shù)
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的
有
≤
成立，求實(shí)數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由
，得
當(dāng)x變化時(shí)，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當(dāng)
時(shí)，取
，有
，故時(shí)不合題意.當(dāng)
時(shí)，令
，即
令
，得
①當(dāng)
時(shí)，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當(dāng)
時(shí)，
，對(duì)于
，
，故在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當(dāng)
時(shí)，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
(Ⅰ)已知函數(shù)
P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)，且x1＜x2．
①求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍及f(x)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f(x)在[a，b]上有導(dǎo)函數(shù)
(x)，且f(a)、f(b)存在，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得(ξ)＝________成立(用a，b，f(a)，f(b)表示，只寫出結(jié)論，不必證明)
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為
(x)，且(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，g(0)＝0．試運(yùn)用你在②中得到的結(jié)論證明：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(1)x＜g(x)．
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單調(diào)遞減
