題目列表(包括答案和解析)
已知圓
交
軸于
兩點(diǎn)，曲線(xiàn)
是以
為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)
為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
是直線(xiàn)
上的任意一點(diǎn)，以
為直徑的圓
與圓
相交于
兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)
必過(guò)定點(diǎn)
，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。
已知圓
：
交
軸于
兩點(diǎn)，曲線(xiàn)
是以
為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)：
為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，以
為直徑的圓
與圓相交于
兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)
必過(guò)定點(diǎn)
，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖所示，若直線(xiàn)與橢圓交于
兩點(diǎn)，且
，試求此時(shí)弦的長(zhǎng)．
已知圓
：
交
軸于
兩點(diǎn)，曲線(xiàn)
是以
為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)：
為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，以
為直徑的圓
與圓相交于
兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)
必過(guò)定點(diǎn)
，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖所示，若直線(xiàn)與橢圓交于
兩點(diǎn)，且
，試求此時(shí)弦的長(zhǎng)．
已知圓
：
交
軸于
兩點(diǎn)，曲線(xiàn)
是以
為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)：
為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，以
為直徑的圓
與圓相交于
兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)
必過(guò)定點(diǎn)
，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖所示，若直線(xiàn)與橢圓交于
兩點(diǎn)，且
，試求此時(shí)弦的長(zhǎng)．
已知曲線(xiàn)D：
交
軸于A、B兩點(diǎn)，曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率
的橢圓。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M是直線(xiàn)
上的任一點(diǎn)，以ＯM為直徑的圓交曲線(xiàn)D于P，Q兩點(diǎn)（Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若直線(xiàn)PQ與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)E，且
。試求此時(shí)弦PQ的長(zhǎng)。
1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D
11. 
12. 2 13. 
14. 
15. 
16．解：（1）∵
，∴
，
∵
，∴
, 
即
邊的長(zhǎng)度為
。
（2）由
，得
…………①
，即
…………②
由①②得
，由正弦定理
，∴
，即證。
17． 解：（1）∵函數(shù)
的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為
要使在區(qū)間
上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)
且
。
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果為
，即
共15個(gè)整點(diǎn)。
所求事件為
，即
共5個(gè)整點(diǎn)，∴所求事件
的概率為
。
（2）隨機(jī)變量
的取值有：2，3，4，5，6。的隨機(jī)分布列為：
2
3
4
5
6
隨機(jī)變量的期望
。
18．解法一：（1）易求
，從而
，由三垂線(xiàn)定理知：
。
（2）法一：易求
由勾股定理知
，設(shè)點(diǎn)
在面
內(nèi)的射影為
，過(guò)作
于
，連結(jié)
，則
為二面角
的平面角。在
中由面積法易求
，由體積法求得點(diǎn)到面的距離是
，所以
，所以求二面角的大小為
。
法二：易求由勾股定理知，過(guò)作于，又過(guò)作
交
于
，連結(jié)
。則易證
為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而
于是
，所以
，在
中由余弦定理求得
。再在
中由余弦定理求得
。最后在
中由余弦定理求得
，所以求二面角的大小為
。
（3）設(shè)AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P―BFD的體積的最小。
。
解法二：空間向量解法，略。
19.解：（1）
當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)
時(shí)，
此時(shí)函數(shù)
遞減；當(dāng)
時(shí)，
此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為0。
（2）由（1）可知函數(shù)
和
的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的分界直線(xiàn)，則該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)分界直線(xiàn)的斜率為
則直線(xiàn)方程為
即
由
可得
當(dāng)
時(shí)恒成立
由
得
。
下面證明
當(dāng)
時(shí)恒成立。
令
則
當(dāng)時(shí)，
。當(dāng)時(shí)，
此時(shí)函數(shù)
遞增；當(dāng)時(shí)，
此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0。
從而
即
恒成立。
函數(shù)和存在唯一的分界直線(xiàn)
。
20．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
，則：
，從而：
，故
,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
（2）設(shè)
，則圓
方程為
,與圓
聯(lián)立消去
得
的方程為
，過(guò)定點(diǎn)
。
（3）將
與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去
得：
,設(shè)
，則
。
，
所以
。
故存在定點(diǎn)
，使
恒為定值
。
21．解：（1）法一：數(shù)學(xué)歸納法；
法二：
所以
為首項(xiàng)為
公比為2的等比數(shù)列，
，即證。
法三：，兩邊同除以
，轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項(xiàng)類(lèi)型。
（2）法一：容易證明
單調(diào)遞增，
。由函數(shù)
割線(xiàn)斜率與中點(diǎn)切線(xiàn)斜率的關(guān)系想到先證
，即證
，即證
。令
下證
。事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)
，則
，
，所以
在
上單調(diào)遞增，故
，則
，即證
。
于是由有
，
（因?yàn)?sub>
）。
法二：要證
，即證
，聯(lián)想到熟悉的不等式（證明如法一）。令
，則
，即證
，下同方法一。
法三：聯(lián)想到熟悉的不等式
（證略）。令，則
，即證
而
，但驗(yàn)算當(dāng)
時(shí)
不成立。故單獨(dú)驗(yàn)證
時(shí)原不等式成立，經(jīng)驗(yàn)證成立。下用數(shù)學(xué)歸納法證
成立。
由，則
，作差有
。
①當(dāng)
時(shí)，
成立。
②假設(shè)
時(shí)，
，則
當(dāng)
時(shí)，
，
下證
，顯然。所以，命題對(duì)時(shí)成立。綜上①②即證。
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