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已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

已知數(shù)列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

即

故當(dāng)時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,，為數(shù)列的前n項和．

（1）求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2， n=12時，數(shù)列中的成等比數(shù)列