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已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足：，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）證明：不等式  對(duì)任意的，都成立．

【解析】第一問(wèn)中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結(jié)論

第二問(wèn)中，利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。

第三問(wèn)中，

又

結(jié)合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項(xiàng)數(shù)列，∴           ∴ 

又n=1時(shí)，

∴   ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對(duì)任意的，都成立．

（本大題18分）

閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，則有x=3x+2，所以x= –1，故原遞推式a_n=3a_n–1+2可轉(zhuǎn)化為：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為a₁+1，公比為3的等比數(shù)列。

根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問(wèn)題：

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理；

（2）若記S_n=，求S_n;

（3）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=10，b_n+1=100，利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n。

（本題滿(mǎn)分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）

   設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足．

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶是否存在以為首項(xiàng)，公比為的數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

（本題滿(mǎn)分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）

　 設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足．

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶是否存在以為首項(xiàng)，公比為的數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

（本題滿(mǎn)分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

       設(shè)函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足，（∈N*，且≥2）。

   （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （2）設(shè)，若≥對(duì)∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

   （3）是否存在以為首項(xiàng)，公比為（）的數(shù)列，，使得數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由。