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如圖，已知半橢圓(a＞1，x≥0)的離心率為曲線C₂是以半橢圓C₁的短軸為直徑的圓在y軸右側(cè)的部分，點(diǎn)P(x₀，y₀)是曲線C₂上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P且與曲線C₂相切的直線l與半橢圓C₁交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B．

(Ⅰ)求a的值及直線l的方程(用x₀，y₀表示)；

(Ⅱ)△OAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．

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一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

_A

B

D

B

D

B

B

C

二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計(jì)前兩題得分，共30分.

9．, f(x)＜m；  10．90 ； 11．3 ；12． _；

13．垂直； 14． ； 15． _。

解答提示：

2．解：設(shè)等軸雙曲線為x²－y²=a²（a>0），

∵焦點(diǎn)到漸近線距離為，∴a=。

3．解：∵_，    ∴

∴_，∴_，∴．

4．解：只有命題②正確。

5．解：有２男２女和三男一女兩種情況，

＝2400種．

6．解：，∴r=3，9時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)

，∴ 。

7．解：由正弦定理得，

由余弦定理有。

8．解： 可行域:的面積為4，圓x²+y²=1的面積為,

    由幾何概型計(jì)算公式得：P=。

10．平均每月注射了疫苗的雞的數(shù)量為萬只。

11．解：，=3。

12．解：∵_，

      ∴_，

      又_，

      ∴，夾角等于。

13．解：垂直。兩直線分別過點(diǎn)和，前兩點(diǎn)和后兩點(diǎn)連線顯然垂直。

法二：兩直線化為普通方程是

其斜率乘積，故兩直線垂直。

14．解：,應(yīng)有

15．解：由圓的相交弦定理知，

∴，

由圓的切割線定理知，

∴。

三、解答題：

16．解：（1） ，        ……………3分

f(x)  。                 　　　　………6分

（2）由（1）知 ，   　　　 …… 9分

的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖像，

其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，                           　　　…………… 11分

故m=  。                                        　……………12分

17．解：（1），

    又，  ………………………………………………2分

    又的等比中項(xiàng)為2，，

    而，  ………………………………4分

      ， ……………………………6分

   （2），    ，

   為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列。 ………………………9分

    ，

    ；當(dāng)；當(dāng)，

    最大。 …………………………12分

18．解：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān)：

①第三個(gè)對(duì)，前兩個(gè)一對(duì)一錯(cuò)，得20+10+0=30分，       ……… ………1分

②三個(gè)題目均答對(duì)，得10+10+20=40分，                ……… ………2分

其概率分別為，            ……… ………3分

            ，                ……… ………4分

這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率為

。        ……… ………5分

(2)如果三個(gè)題目均答錯(cuò)，得0+0+（-10）=-10分，

如果前兩個(gè)中一對(duì)一錯(cuò)，第三個(gè)錯(cuò)，得10+0+（-10）=0分；  …… ………6分

 前兩個(gè)錯(cuò)，第三個(gè)對(duì)，得0+0+20=20分；

如果前兩個(gè)對(duì)，第三個(gè)錯(cuò)，得10+10+（-10）=10分；      ……… ………7分

故的可能取值為：-10，0，10，20，30，40.                 ………….8分

 ，    ……… ………9分

                            ………………10分

                             ……… ………11分

                             ……… ………12分

又由（1），，

∴的概率分布為

-10

0

10

20

30

40

                                                    ………………13分

根據(jù)的概率分布，可得的期望，

                                                         ………14分

19．解：（1），∴,     ∴2a²=3b²      ……….2分

      ∵直線l:與圓x²+y²=b²相切，

∴=b，∴b=，b²=2，                                                             …….3分  

∴a²=3.  ∴橢圓C₁的方程是          ………….  4分

（2）∵|MP|＝|MF₂|，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x＝－1的距離等于它的定點(diǎn)F₂（1，0）的距離. …5分

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，                                                 ………….6分

∴ ，p=2 ，                                    ………….7分

 ∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為_。                  .………….8分           

（3）由（1）知A（1，2），，y₂≠2，①

       則，              ………….10分

    又因?yàn)?sub>      , ，

       整理得，       　　　　　　   ………….12分

則此方程有解，

       ∴解得或，      ………….13分

       又檢驗(yàn)條件①：∵y₂=2時(shí)y₀=-6,不符合題意。

       ∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y₀的取值范圍是       ………….14分

20．解法一：（向量法）：

過點(diǎn)作

∵⊥平面

∴⊥平面

又在中，

∴

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．       ………….1分

又在中，，

∴

又在中，

∴

則                        ………….3分

（1）證明：∵

         ∴

         ∴

         ∴

 又

∴⊥平面                               ………….6分

又在中，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，

且

∴不論為何值，都有

∴⊥平面

又平面

不論為何值，總有平面⊥平面           ………….8分

（2）∵，∴,

∵，∴，

又∵， ，     

設(shè)是平面的法向量，則         .………….10分

又，,∵=(0,1,0),

∴

令得

∴，                            ………….12分

    ∵ 是平面的法向量，平面與平面所成的二面角為_，

∴

∴_，

∴或（不合題意，舍去），

         故當(dāng)平面與平面所成的二面角的大小為時(shí)．…….14分

（2）解法二：∵，∴ ,

設(shè)E（a,b,c）,則，

∴a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,

∴)。                       

其余同解法一

（2）解法三：設(shè)是平面的法向量，則，

        ∵ 

        ∴

        ∴

又在中，，

∴

又在中，

∴

∴

    又，且

∴

∴

∴

又

∴

∴        _{……………10分}

∴

令得

∴                               …………12分

其余同解法一

解法四：（傳統(tǒng)法）：

（1）證明：∵⊥平面

∴                                    ………….1分

又在中，

∴                                    ………….2分

又

∴⊥平面                               ………….3分

又在中，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，

且

∴                                      ………….4分

∴⊥平面                                ………….5分

又平面

∴不論為何值，總有平面⊥平面．        ………….6分

（2）解：作BQ∥CD，則BQ⊥平面，

∴BQ⊥BC，BQ⊥BE，

又BQ與CD、EF共面，∴平面與∩平面_＝BQ，

∴∠CBE平面與平面所成的二面角的平面角，為，∴

∴①      ………….9分

   又

   ∴