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如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求λ₁+λ₂的值；
②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是λ₁+λ₂否為定值？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(本小題滿分14分)在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值.

(1) 以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；

(2) 過(guò)點(diǎn)作圓的切線交曲線于，兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

 

 

（本小題滿分14分）

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在對(duì)角線A₁C₁上，記二面角P-AB-C為α，二面角P-BC-A為β。

(1) 當(dāng)A₁P：PC₁=1：3時(shí)，求cos（α+β）的大小。

（2）點(diǎn)P是線段A₁C₁(包括端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，α+β有最小值？

 

(本小題滿分14分）在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值.

(1)以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x²＋y²＝1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

 

如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好有AF₁：AF₂＝3：1.

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；(Ⅱ) 設(shè).

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求的值；

②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是否

為定值？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.