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一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系在細(xì)繩的一端，繩的另一端固定在水平面上，水平面粗糙．此質(zhì)點(diǎn)在該水平面上做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速率是v₀，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，其速率變?yōu)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3 v0

3

，則（　�。�

A．當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)摩擦力做的功為- m v 2 0 3

B．質(zhì)點(diǎn)與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ= v 2 0 3rgπ

C．在小球運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩的拉力逐漸減小

D．質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)了三個(gè)圈時(shí)恰好停止

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如圖，ABCD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是傾斜的，傾角為37°，BC段是水平的，CD段為半徑R=0.15m的半圓，三段軌道均光滑連接，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E=5.0×10³ V/m．一帶正電的導(dǎo)體小球甲，在A點(diǎn)從靜止開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)不帶電的相同導(dǎo)體小球乙發(fā)生彈性碰撞，碰撞后速度交換（即碰后甲的速度變成碰前瞬間乙的速度，乙的速度變成碰前瞬間甲的速度）．已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m=1.0×10^-2㎏，小球甲所帶電荷量為q_甲=2.0×10^-5C，g取10m/s²，假設(shè)甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，并不考慮它們之間的靜電力，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程與軌道間無(wú)電荷轉(zhuǎn)移．
（1）若甲、乙兩球碰撞后，小球乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，試求小球乙在剛過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若水平軌道足夠長(zhǎng)，在甲、乙兩球碰撞后，小球乙能通過軌道的最高點(diǎn)D，則小球甲應(yīng)至少?gòu)木郆C水平面多高的地方滑下？
（3）若傾斜軌道AB可在水平軌道上移動(dòng)，在滿足（1）問和能垂直打在傾斜軌道的條件下，試問小球乙在離開D點(diǎn)后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間打在傾斜軌道AB上？

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選擇題： CABDA   BBADA   BB

4、原式

由條件可求得：    原式   故選D

5、由題得，則是公比為的等比數(shù)列，則，故選答案

6、由已知可得，直線的方程，

直線過兩個(gè)整點(diǎn)，（），即，故應(yīng)選B

7、令，則，其值域?yàn)?sub>．由

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，且的最小值而，

故選答案。

8、共有個(gè)四位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字是1，且恰好有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)分為兩類：一類：“1”重復(fù)，有個(gè)；另一類；其他三個(gè)數(shù)字之一重復(fù)，有種。所以答案為：A

9、由題意可知滿足的的軌跡是雙曲線的右支，根據(jù)“單曲線型直線”的定義可知，就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點(diǎn)，故選D

10、選�？梢宰C明D點(diǎn)和AB的中點(diǎn)E到P點(diǎn)和C點(diǎn)的距離相等，所以排除B和C選項(xiàng)。滿足的點(diǎn)在PC的中垂面上，PC的中垂面與ABCD的交線是直線，從而選A。

11、解：以的平分線所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，則則、、，

所以

，故當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時(shí)，  故選B

12、則，

，

故則的最小值為，故選答案。

二、填空題

13、。

14、利用正弦定理可將已知等式變?yōu)?sub>即，

，  

當(dāng)時(shí)，有最大值

15、。

16、。畫圖分析得球在二面角內(nèi)的那一部分的體積是球的體積的，所以。

三、解答題：

17、解：

（1）由得或

在上是增函數(shù)，

可額可得

18、（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)

分別為的重心，，

，即

（2）（i）平面，

，平面的法向量為，

平面的法向量為

故，即二面角的大小為

（ii）設(shè)平面的法向量，

，由解得

又，點(diǎn)到平面的距離為

18、解：（I）抽取的球的標(biāo)號(hào)可能為1，2，3，4

則分別為0，1，2，3：分別為

因此的所有取值為0，1，2，3，4，5

當(dāng)時(shí)，可取最大值5，此時(shí)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的所有取值為（1，2），此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，的所有取值為（1，1），（1，3），（2，2），此時(shí)

當(dāng)時(shí)，的所有取值為（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此時(shí)

當(dāng)時(shí)，的所有取值為（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此時(shí)

當(dāng)時(shí)，的所有取值為（3，4），（4，1），（4，3），此時(shí)

故的分布列為：

0

1

2

3

4

5

。

20解：（1）

   故。

（Ⅱ）由（I）知

令則。當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

（Ⅲ），

①-②得

令則

。

則。

而  。

21、（I）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，

直線的方程分別為

如圖，設(shè)其中，

且滿足方程故①

由知得

由在上知得。

所以，化簡(jiǎn)得，

解得或。

（Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)，到的距離分別為

，

又，所以四邊形的面積為

，

當(dāng)即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以的最大值為2。

解法二：由題設(shè)，，

設(shè)由①得，

故四邊形的面積為+=

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以的最大值為

22、解：（I）由題設(shè)可得

函數(shù)在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立。

當(dāng)時(shí)，的最大值為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，于是 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增。

又

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上的最大值為

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在上是增函數(shù)

對(duì)于任意的正整數(shù)，有，則

即，。

。

而則成立，