題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)
設(shè)是定義在區(qū)間
上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為
。如果存在實數(shù)
和函數(shù)
,其中
對任意的
都有
>0,使得
,則稱函數(shù)
具有性質(zhì)
。
(1)設(shè)函數(shù),其中
為實數(shù)。
(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì)
; (ii)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)
。給定
設(shè)
為實數(shù),
,
,且
,
若||<|
|,求
的取值范圍。
(本小題滿分16分)已知數(shù)列是以
為公差的等差數(shù)列,數(shù)列
是以
為公比的等比數(shù)列.(Ⅰ)若數(shù)列
的前
項和為
,且
,
,求整數(shù)
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試問數(shù)列中是否存在一項
,使得
恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)
項的和?請說明理由;(Ⅲ)若
(其中
,且(
)是(
)的約數(shù)),求證:數(shù)列
中每一項都是數(shù)列
中的項.
(本小題滿分16分)
已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列
是等比數(shù)列,且對任意的
,都有
.
(1)若的首項為4,公比為2,求數(shù)列
的前
項和
;
(2)若.
①求數(shù)列與
的通項公式;
②試探究:數(shù)列中是否存在某一項,它可以表示為該數(shù)列中其它
項的和?若存在,請求出該項;若不存在,請說明理由.
(本小題滿分16分)經(jīng)銷商用一輛J型卡車將某種水果從果園運送(滿載)到相距400km的水果批發(fā)市場.據(jù)測算,J型卡車滿載行駛時,每100km所消耗的燃油量u(單位:資、車損等其他費用平均每小時300元.已知燃油價格為每升(L)7.5元.
(1)設(shè)運送這車水果的費用為y(元)(不計返程費用),將y表示成速度v的函數(shù)關(guān)系式;
(2)卡車該以怎樣的速度行駛,才能使運送這車水果的費用最少?
(本小題滿分16分)如圖,是橢圓
的左、右頂點,橢圓
的離心率為
,右準(zhǔn)線
的方程為
.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)是橢圓
上異于
的一點,直線
交
于點
,以
為直徑的圓記為
.
①若恰好是橢圓
的上頂點,求
截直線
所得的弦長;
②設(shè)與直線
交于點
,試證明:直線
與
軸的交點
為定點,并求該定點的坐標(biāo).
一、填空題
1. 2.
,
3.
4.2
5.1 6.
7.50
8. 9.-2
10.
11.2 12.
13.2 14.
二、解答題
15[解]:證:設(shè)
,連
。
⑴ ∵為菱形, ∴
為
中點,又
為
中點。
∴∥
(5分)
又 ,
∴
∥
(7分)
⑵ ∵為菱形, ∴
,
(9分)
又∵,
∴
(12分)
又 ∴
又
∴
(14分)
16[解]:解:⑴ ∵ , ∴
,∴
(1分)
又
(3分)
∴
∴ 。
(6分)
⑵,
(8分)
∵,∴
,
。
∴
(10分)
(13分)
(當(dāng) 即
時取“
”)
所以的最大值為
,相應(yīng)的
(14分)
17.解:⑴直線的斜率
,
中點坐標(biāo)為
,
∴直線方程為
(4分)
⑵設(shè)圓心,則由
在
上得:
①
又直徑,
,
又
∴ ② (7分)
由①②解得或
∴圓心 或
∴圓的方程為
或
(9分)
⑶ ,∴ 當(dāng)△
面積為
時 ,點
到直線
的距離為
。
(12分)
又圓心到直線
的距離為
,圓
的半徑
且
∴圓上共有兩個點使 △
的面積為
.
(14分)
18[解] (1)乙方的實際年利潤為:
. (5分)
,
當(dāng)時,
取得最大值.
所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量 (噸).…………………8分
(2)設(shè)甲方凈收入為元,則
.
將
代入上式,得:
. (13分)
又
令,得
.
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
,所以
時,
取得最大值.
因此甲方向乙方要求賠付價格 (元/噸)時,獲最大凈收入. (16分)
19. 解:⑴ 由 得
,令
得
(2分)
∴所求距離的最小值即為到直線
的距離(4分)
(7分)
⑵假設(shè)存在正數(shù),令
則
(9分)
由得:
∵當(dāng)時,
,∴
為減函數(shù);
當(dāng)時,
,∴
為增函數(shù).
∴
(14分)
∴ ∴
∴的取值范圍為
(16分)
20. 解:⑴由條件得: ∴
(3分)
∵ ∴
∴
為等比數(shù)列∴
(6分)
⑵由 得
(8分)
又 ∴
(9分)
⑶∵
(或由即
)
∴為遞增數(shù)列。
(11分)
∴從而
(14分)
∴
(16分)
附加題答案
21. (8分)
22. 解:⑴①當(dāng)時,
∴ (2分)
②當(dāng)時,
∴
(4分)
③當(dāng)時,
∴
(6分)
綜上該不等式解集為 (8分)
23. (1); (6分)
(2)AB=
(12分)
24. 解: ⑴設(shè)為軌跡上任一點,則
(4分)
化簡得: 為求。
(6分)
⑵設(shè),
,
∵ ∴
(8分)
∴ 或
為求
(12分)
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