題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)， M為棱AA1上的點(diǎn)，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點(diǎn)C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費(fèi)用為a元；②修1米舊墻的費(fèi)用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為
元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最省?(1)、(2)兩種方案哪個(gè)更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號(hào)成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)
的最小值,并指出取最小值時(shí)相應(yīng)的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image273.gif)
12．4 13．70，10，32 14．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image275.gif)
15．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image107.gif)
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
16．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image278.gif)
…………………………………2分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image280.gif)
……………………………………………………3分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image282.gif)
………………………………………………………5分
∴函數(shù)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image129.gif)
的最小正周期試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image285.gif)
…………………………………………6分
（Ⅱ）當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image196.gif)
時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image287.gif)
………………………………………8分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image289.gif)
………………………………………………………………10分
∴的值域是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image291.gif)
………………………………………………………12分
17．(本小題滿分12分)
解：設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image167.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image169.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image171.gif)
分別表示3枚鑰匙，其中是房門鑰匙，則這個(gè)隨機(jī)事件可看作是三枚鑰匙的一個(gè)排序，它包含了：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image296.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image298.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image300.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image302.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image304.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image306.gif)
共6個(gè)基本事件；………………………………4分
(Ⅰ)設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image002.gif)
表示事件“恰好第三次打開房門鎖”，則事件包括、共兩個(gè)基本事件：……………………………………………………………………6分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image311.gif)
…………………………………………………………………………8分
(Ⅱ)設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image004.gif)
表示事件“兩次內(nèi)打開房門鎖”，則事件包含：、、、共4個(gè)基本事件：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image318.gif)
………………………………………………………10分
答：恰好第三次打開房門鎖的概率是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image320.gif)
，兩次內(nèi)打開的概率是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image322.gif)
． ……………12分
18．(本小題滿分14分)
(Ⅰ) 證明：依題意：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image324.gif)
，且試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image326.gif)
在平面試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image209.gif)
外．……………………2分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image207.gif)
平面…………………………………………………………………4分
(Ⅱ) 證明：連結(jié)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image330.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image332.jpg)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image334.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image336.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image338.gif)
平面試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image340.gif)
…………5分
又∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image179.gif)
在試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image343.gif)
上，∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image345.gif)
在平面上
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image347.gif)
…………………………6分
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image350.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image352.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image354.gif)
中，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image356.gif)
………………………………………7分
同理：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image358.gif)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image360.gif)
中，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image362.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image364.gif)
………………………………………………………………………8分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image211.gif)
平面……………………………………………………………10分
(Ⅲ)解：∵平面
∴所求體積試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image368.gif)
……………………………………………12分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image370.gif)
…………………………………………14分
19．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 根據(jù)題意，得
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image372.gif)
………………………………………………………3分
解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image374.gif)
……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image376.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image127.jpg)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image378.gif)
……………………10分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image380.gif)
………………14分
20．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 依題意：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image382.gif)
． ……………………………………………………2分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image384.gif)
∴所求方程為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image386.gif)
． ……………………………………………4分
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)圓圓心為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image388.gif)
，（其中試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image390.gif)
），試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image392.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image394.gif)
的坐標(biāo)分別為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image396.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image398.gif)
因?yàn)閳A試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image245.gif)
過試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image401.gif)
，故設(shè)圓的方程試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image403.gif)
……………6分
∵、是圓和試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image160.gif)
軸的交點(diǎn)
∴令試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image406.gif)
得：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image408.gif)
…………………………………………………8分
則試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image410.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image412.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image414.gif)
…………………10分
又∵圓心在拋物線試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image237.gif)
上
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image418.gif)
…………………………………………………………………11分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image420.gif)
…………………………………．12分
∴當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image422.gif)
時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image424.gif)
(定值)． ……………………………………………14分
21．(本小題滿分14分)
解：由函數(shù)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
得，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image426.gif)
………………3分
(Ⅰ) 若為區(qū)間試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image266.gif)
上的“凸函數(shù)”，則有試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image430.gif)
在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image432.gif)
，
即試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image434.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image436.gif)
． …………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image269.gif)
時(shí)，恒成立試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image440.gif)
當(dāng)時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image442.gif)
恒成立．……………………………………………………………………………8分
當(dāng)時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image445.gif)
顯然成立。 …………………………………9分
當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image447.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image449.gif)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image081.gif)
的最小值是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image165.gif)
．
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image453.gif)
．
從而解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image455.gif)
…………………………………………………………………1分
當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image457.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image459.gif)
∵的最大值是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image461.gif)
，∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image463.gif)
，
從而解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image465.gif)
． ………………………………………………………………13分
綜上可得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image467.gif)
，從而試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image469.gif)
………………………………14分
如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分．
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