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如圖，G是△OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線．
（1）設(shè)

PG

=λ

PQ

，將

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）設(shè)

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，證明：

1

x

+

1

y

是定值；
（3）記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T．求

T

S

的取值范圍．

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如圖，已知A（1，0），B（0，2），C₁為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，過C₁作C₁D₁⊥OA于D₁點，連接BD₁交OC₁于C₂點，過C₂作C₂D₂⊥OA于D₂點，連接BD₂交OC₁于C₃點，過C₃作C₃D₃⊥OA于D₃點，如此繼續(xù)，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），記D_n的坐標(biāo)為（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n與a_n+1的關(guān)系式，并求出a_n的表達(dá)式；
（3）設(shè)△OC_nD_n的面積為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明：Sn＜

3

4

．

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如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)C₂與y軸的交點為M，過坐標(biāo)原點O的直線l與C₂相交于點A、B，直線MA，MB分別與C₁相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S₁，S₂．問：是否存在直線l，使得

S1

S2

=

17

32

？請說明理由．

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如圖，已知拋物線y²=4x的焦點為F．過點P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k₁，直線AB的斜率為k₂．證明：

k1

k2

為定值．

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如圖，菱形ABCD的邊長為2，△BCD為正三角形，現(xiàn)將△BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為C′，且CC′=

3

，連接CC′．
（Ⅰ）若E為CC′的中點，證明：AC′∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐C′-ABD的體積．

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選擇題： CABDA   BBADA   BB

4、原式

由條件可求得：    原式   故選D

5、由題得，則是公比為的等比數(shù)列，則，故選答案

6、由已知可得，直線的方程，

直線過兩個整點，（），即，故應(yīng)選B

7、令，則，其值域為．由

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，且的最小值而，

故選答案。

8、共有個四位數(shù)，其中個位數(shù)字是1，且恰好有兩個相同數(shù)字的四位數(shù)分為兩類：一類：“1”重復(fù)，有個；另一類；其他三個數(shù)字之一重復(fù)，有種。所以答案為：A

9、由題意可知滿足的的軌跡是雙曲線的右支，根據(jù)“單曲線型直線”的定義可知，就是求哪條直線與雙曲線的右支有交點，故選D

10、選。可以證明D點和AB的中點E到P點和C點的距離相等，所以排除B和C選項。滿足的點在PC的中垂面上，PC的中垂面與ABCD的交線是直線，從而選A。

11、解：以的平分線所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，則則、、，

所以

，故當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時，  故選B

12、則，

，

故則的最小值為，故選答案。

二、填空題

13、。

14、利用正弦定理可將已知等式變?yōu)?sub>即，

，  

當(dāng)時，有最大值

15、。

16、。畫圖分析得球在二面角內(nèi)的那一部分的體積是球的體積的，所以。

三、解答題：

17、解：

（1）由得或

在上是增函數(shù)，

可額可得

18、（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)

分別為的重心，，

，即

（2）（i）平面，

，平面的法向量為，

平面的法向量為

故，即二面角的大小為

（ii）設(shè)平面的法向量，

，由解得

又，點到平面的距離為

18、解：（I）抽取的球的標(biāo)號可能為1，2，3，4

則分別為0，1，2，3：分別為

因此的所有取值為0，1，2，3，4，5

當(dāng)時，可取最大值5，此時

（Ⅱ）當(dāng)時，的所有取值為（1，2），此時；

當(dāng)時，的所有取值為（1，1），（1，3），（2，2），此時

當(dāng)時，的所有取值為（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此時

當(dāng)時，的所有取值為（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此時

當(dāng)時，的所有取值為（3，4），（4，1），（4，3），此時

故的分布列為：

0

1

2

3

4

5

。

20解：（1）

   故。

（Ⅱ）由（I）知

令則。當(dāng)時，；

當(dāng)時，

（Ⅲ），

①-②得

令則

。

則。

而  。

21、（I）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，

直線的方程分別為

如圖，設(shè)其中，

且滿足方程故①

由知得

由在上知得。

所以，化簡得，

解得或。

（Ⅱ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點，到的距離分別為

，

又，所以四邊形的面積為

，

當(dāng)即當(dāng)時，上式取等號，所以的最大值為2。

解法二：由題設(shè)，，

設(shè)由①得，

故四邊形的面積為+=

當(dāng)時，上式取等號，所以的最大值為

22、解：（I）由題設(shè)可得

函數(shù)在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，不等式即恒成立。

當(dāng)時，的最大值為1，則實數(shù)的取值范圍是；

（Ⅱ）當(dāng)時，

當(dāng)時，，于是 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增。

又

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為，當(dāng)時，

函數(shù)在上的最大值為

（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知在上是增函數(shù)

對于任意的正整數(shù)，有，則

即，。

。

而則成立，