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A組：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，一條漸近線方程為y=

3

3

x．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，

2

）傾斜角為45°的直線l與雙曲線c恒有兩個不同的交點A和B，求|AB|．
B組：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，一條漸近線方程為y=

3

3

x．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，

2

）是否存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且

OA

•

OB

=2，若存在求出直線方程，若不存在請說明理由．

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別是C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C₂和直線l，設計一個與x軸上某點有關的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分）．