題目列表(包括答案和解析)
，
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn)，與直線
相切的
交橢圓于點(diǎn)
，恰好是直線
與的切點(diǎn).到橢圓的右準(zhǔn)線的距離為
，過橢圓的上頂點(diǎn)A的直線與交于B、C兩點(diǎn)，且
，求λ的取值范圍.設(shè)橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為
，點(diǎn)
在橢圓上且異于兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上，有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
設(shè)橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，
上頂點(diǎn)為
，在
軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)
，滿足
，且
．
（Ⅰ）求橢圓
的離心率；
（Ⅱ）
是過
三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，到直線
的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點(diǎn)
作斜率為
的直線
與橢圓交于
兩點(diǎn)，線段
的中垂線與軸相交于點(diǎn)
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
設(shè)橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，上頂點(diǎn)為
，離心率為
，
在
軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)
，且
（1）若過
三點(diǎn)的圓 恰好與直線
相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)
作斜率為
的直線
與橢圓C交于
兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由．
設(shè)橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別為
，上頂點(diǎn)為
，離心率為
，在
軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)
，且
（Ⅰ）若過
三點(diǎn)的圓恰好與直線
相切，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，過右焦點(diǎn)
作斜率為
的直線
與橢圓C交于
兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由．
考 生 填 寫 座 位
號 碼 的 末 兩 位
題 號
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評卷人
二．填空題(請把答案填在對應(yīng)題號的橫線上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關(guān)系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側(cè)棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點(diǎn)，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設(shè)向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設(shè)直線與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）每個提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設(shè)需要維修的提升站數(shù)為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望是750元．..........12分
20.（本題滿分14分）
解： (Ⅰ)設(shè)“封閉函數(shù) ” 
的“封閉區(qū)間”為
，其中
．
在
上為減函數(shù)，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區(qū)間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數(shù)，在(2 ，+)上也是增函數(shù)；在(0 ，2)上是減函數(shù)．
顯然在上不是單調(diào)函數(shù)，故不是
上的“封閉函數(shù) ”．...8分
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)
，使函數(shù)
是上的“封閉函數(shù) ”且“封閉區(qū)間”是，則
(1) 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)．
，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則
對
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
，則
（6分），則直線
的方程為
，聯(lián)立
，得
（8分），
（或?qū)懗桑?sub>
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點(diǎn)共線，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計(jì)入總分,滿分10分； 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請?jiān)跈M線上注明題號)
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線
的參數(shù)方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標(biāo)方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當(dāng)
≤1時，為空集，顯然成立，......6分
當(dāng)＞1時，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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