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（2010•聊城一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是坐標平面內一點，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S(0，-

1

3

)且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標和△MAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

（2013•菏澤二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點O為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切；若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點．直線OA和OB的斜率分別為k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值．

（2013•煙臺二模）已知銳角△ABC中的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，定義向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

柳州市積極響應國家提高素質教育的戰(zhàn)略構想．某校對評三好學生進行全面改革，制定新的評定細則，按新的評定細則，A、B、C三同學評為三好學生的概率分別為x、

1

2

x、

2

3

x（其中0≤x≤1）．
（1）當x=0.6時，求A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率；
（2）求A、B、C中至少一位同學評為三好學生的概率的最大值．