題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
，求數(shù)列 的前
項(xiàng)和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點(diǎn)
在
軸上，點(diǎn)
在
軸的正半軸，點(diǎn)
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對(duì)任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足：對(duì)任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
注意事項(xiàng)：
１．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
２．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名等寫在三相應(yīng)的位置．
３．本卷為答題卷，要求將所有試題答案或解答寫在答題卷指定位置上．
４．請(qǐng)用
考 生 填 寫 座 位
號(hào) 碼 的 末 兩 位
題 號(hào)
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的;每小題選出答案后，請(qǐng)用2B鉛筆把就機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
D
C
C
B
D
B
A
A
得分
評(píng)卷人
二．填空題(請(qǐng)把答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上)
13. 
. 14．
.
15．
. 16. 
.
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請(qǐng)將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）∵
，∴ 
（3分），又∵ 
是鈍角，
∴ 
（或
）；...............6分
（Ⅱ）由余弦定理得，
，..........9分
∴ 
.................12分，
18．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)兩個(gè)紅球?yàn)?sub>
，三個(gè)白球?yàn)?sub>
，從中任意選取2個(gè)球，所有可能的結(jié)果如下：（），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
）共有20種，………………………………………………………（5分）
其中紅球、白球都有的結(jié)果是（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）共有12種，
所以紅球、白球都有的概率為
；…（8分）
（Ⅱ）∵“紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)”包含兩類：兩紅，一紅一白，
∴由（Ⅰ）知中獎(jiǎng)的概率為
．……………………（12分）
19．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵ 
∥
，
又
，
，
∴ ∥
；........4分
（Ⅱ）在三棱柱
中，
∵ 
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點(diǎn)，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....8分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....10分
又 
，
∴ 
．..........12分
解法二：（Ⅱ）以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
，
，
（6分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（8分），
∴ 
，
∴ 
，∴（10分）
又 
，∴ ．....12分
20.（本題滿分14分）
解；（Ⅰ）設(shè)圓
：
....①，將
和
兩點(diǎn)坐標(biāo)代入①得，
........................②（2分）
又 ∵ 圓心
在直線
上，則 
...........③（3分）
聯(lián)立②、③解之
（4分），將代入
中，得 
，
故 圓的方程為 
（5分）．
（Ⅱ）∵直線
與
的傾斜角互補(bǔ)，又點(diǎn)在圓上，且
為圓上相異兩點(diǎn)，∴ 它們的傾斜角都不為
，∴它們的斜率互為相反數(shù)（6分），
設(shè)直線的方程為 
，則直線的方程為
（7分），
聯(lián)立 
，.............（9分）
（或 
（9分））
解之：
，
，
（11分），
（或 解之
，
（11分））
同理可得，
，
（12分），
（或 
（12分））
∴ 
............14分
（或
...........14分）
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)
=
9時(shí)
則
......2分
令
解得：
或
........3分
故函數(shù)
在區(qū)間（－
，－１）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（３，＋）上也是增函數(shù)．..5分
（Ⅱ）
函數(shù)
在（－，＋）上為增函數(shù)，∴對(duì)于
，
０恒成立，
故：
＝36－12
0，解得：3.........8分
所以3時(shí)，函數(shù)在（－，＋）上為增函數(shù)．......9分
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下函數(shù)在（－，＋）上為增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)，故有：
，∵
，∴
，從而方程x=至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程
至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．.............11分
又方程有一根為0，故：方程
至少有一個(gè)不為0的根.
∴
，解得：
且
0............13分
又∵3
∴ ３．...........14分
四．選考題(從下列兩道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)；若多做，則按首做題計(jì)入總分，滿分10分; 請(qǐng)將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請(qǐng)?jiān)跈M線上注明題號(hào))
解（或證明）：
22. 證明：∵是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴
，∴ 
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23. 解：（Ⅰ）直線
的參數(shù)方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標(biāo)方程為
．.........10分
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