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設(shè)f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值

（2）對(duì)一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）證明對(duì)一切，都有成立

【解析】第一問(wèn)中利用

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

第二問(wèn)中，，則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立， 

第三問(wèn)中問(wèn)題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

解：（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

                 …………4分

（2），則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問(wèn)題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

 

設(shè)f（x）=x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）

設(shè)f（x）=x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）

設(shè)f（x）=x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）