題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數(shù)
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D
13.－3 14.7 15.②④ 16.3
17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.
又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值為A＋1，最小值為1.
由f(x)的最大值與最小值的差為2，∴A＝2.
由f(x)過點(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，
則T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分
(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.
設A，C所對的邊分別為a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，
當且僅當a＝c＝時等號成立，△ABC的面積S＝acsin≤.12分
18.解：(1)某應聘者能被聘用的概率為p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分
(2)在4位應聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1－P0)2，
恰有3位被聘用的概率為Cp?(1－p0)1，依題意Cp?(1－p0)2≥Cp?(1－p0)1，解得p0≤，
即＋p≤⇒0≤p≤.12分
19.解：(1)連AQ，∠PQA是PQ與平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中點，過Q作QH⊥AD于H，則QH⊥平面PAD，過Q作QM⊥PD，連MH，則∠QMH為所求二面角的平面角.
在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，
所以tan∠QMH＝＝＝，
從而所求二面角的大小為arctan .6分
(2)由于Q是BC的中點，可得DQ⊥PQ，
⇒面PAQ⊥面PDQ，
過A作AG⊥PQ于G，則AG為點A到平面PQD的距離.
AG＝＝＝.12分
另解：分別以AD，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
由條件知Q是BC的中點，面PAD的一個法向量是＝(0,2,0).
又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，
故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，
設面PDQ的法向量為n＝(x，y，z)，
則⇒由此可取n＝(1,1,1)，
從而(1)cos〈，n〉＝＝＝.
(2)面PDQ的一個法向量為n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，
故點A到平面PDQ的距離d＝＝＝.
20.解：(1)an＋1＝an－1＋(－1)n－1＋n，于是a3＝a1＋2－1＝2，a2n－1＝a2n－3－1＋2n－2(n≥2)，
∴a2n－1＝a2n－3＋2n－3(n≥2).
…………
a3＝a1＋1
a2n－1＝a1＋＝n2－2n＋2.2分
而a2＝b1＋1＝2
a4＝b3＋3＝a2＋4
…………
a2n＝a2n－2＋2n
∴a2n＝a2n－2＋2n
∴a2n＝a2＋＝n2＋n.8分
(2)Sn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－
∴S2009＝1－＝.12分
21.解：(1)設P(x，y)，則＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，依題意有(－2－x)(2－x)＋y2＝?，化簡得x2－y2＝2.4分
(2)假設存在定點F(m,0)，使?為常數(shù).
當直線l與x軸不垂直時，設l：y＝k(x－2)，
⇒(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
依題意k2≠1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
于是?＝(x1－m，y1)(x2－m，y2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋4k2＋m2
＝＋m2－4m＋2.8分
要使?是與k無關的常數(shù)，當且僅當m＝1，此時?＝－1.
當直線l⊥x軸時，可得M(2，)，N(2，－)，若m＝1，則?＝(1，)(1，－)＝－1.
所以在x軸上存在定點F(1,0)，使?為常數(shù).12分
22.解：f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4).
(1)當a＝－時，f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝2x(2x－1)(x－2)，令f′(x)≥0，得0≤x≤或x≥2，所以f(x)的增區(qū)間為[0，]與[2，＋∞).4分
(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，顯然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根，為使f(x)僅在x＝0處有極值，4x2＋3ax＋4≥0必須恒成立，即有Δ＝9a3－64≤0，解得a∈[－，].8分
(3)由條件a∈[－2,2]知Δ＝9a2－64＜0，從而4x2＋3ax＋4＞0恒成立.
當x＜0時f′(x)＜0；當x＞0時，f′(x)＞0.
因此f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為max{f(－1)，f(1)}.
為使對任意a∈[－2,2]，f(x)≤1在x∈[－1,1]上恒成立，當且僅當⇒在a∈[－2,2]上恒成立，解得b≤－4，故b的取值范圍是(－∞，－4].
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