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        1. 假設(shè)存在矩形OANB.則.即. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

          (Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

          (Ⅱ) 設(shè) (N*).

          ①證明: ;

          ② 求證:.

          【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,

          所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

          解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由.  ……2分

          若存在,

          從而有,與矛盾,所以.

          從而由.  ……6分

           (Ⅱ)①證明:

          證法一:∵

           

          .…………10分

          證法二:,下同證法一.           ……10分

          證法三:(利用對偶式)設(shè),,

          .又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                              ………10分

          證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

             ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

             則當(dāng)時(shí),

              即

          故當(dāng)時(shí),命題成立.

          綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

          ②由于,

          所以

          從而.

          也即

           

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          已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

          (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

          (2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

          【解析】解:.

          當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

          于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

          當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

          故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

          綜上所述,的取值集合為.

          (Ⅱ)由題意知,

          ,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),

          從而

          所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

          【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

           

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          已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,且滿足.

          (1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;

          (2)   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

          (3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

          【解析】第一問中解:由,,

          又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

          ,所以p=1

          故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

          此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

          第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:

          (i)當(dāng)時(shí),

          (ii) 當(dāng)時(shí),,

          所以

          第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,

          則(i)當(dāng)時(shí),

           

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          已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

          (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

          【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

          第一問中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

          則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

          又由于 

          所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

          第二問中,

          假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

           因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

          (i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

          (ii)下面僅考慮情形:

          ,得,

          ,得

          代入1,2式中得到范圍。

          (Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

          則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

          又由于 

          所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

           (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

           因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

          (i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

          (ii)下面僅考慮情形:

          ,得,

          ,得……②  ……………………9分

          代入①式得,解得………………………………………12分

          代入②式得,得

          綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

           

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          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①對于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;③當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1+x2∈[0,1]時(shí),f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為“友誼函數(shù)”.給出下列命題:
          (1)“友誼函數(shù)”f(x)一定滿足f(0)=0;
          (2)函數(shù)y=log2(x+1),y=2x-1,y=2x2-x在[0,1]上都是“友誼函數(shù)”;
          (3)“友誼函數(shù)”f(x)一定不是單調(diào)函數(shù);
          (4)若f(x)為“友誼函數(shù)”,假設(shè)存在x0∈[0,1]使得f(x0)∈[0,1]且f[f(x0)]=x0,則f(x0)=x0
          其中正確的命題的序號為
          (1),(4)
          (1),(4)
          (把所有正確命題的序號都填上)

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