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已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F1(-

5

，0)，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點F．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：

9x2

a2

+

y2

b2

=1，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？
（Ⅲ） 過坐標原點O的直線交橢圓W：

9x2

2a2

+

4y2

b2

=1于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

（2012•上饒一模）已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設O為橢圓的中心，是否存在過F點，斜率為k（k∈R，l≠0）且交橢圓于M、N兩點的直線，當從O點引出射線經過MN的中點P，交橢圓于點Q時，有

OM

+

ON

=

OQ

成立．如果存在，則求k的值；如果不存在，請說明理由．

已知點A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周長為2+2

2

．記動點C的軌跡為曲線W．
（1）直接寫出W的方程（不寫過程）；
（2）經過點（0，

2

）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數k，使得向量

OP

+

QO

與向量(-

2

，1)共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
（3）設W的左右焦點分別為F₁、F₂，點R在直線l：x-

3

y+8=0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求

|RF1|

|RF2|

的值．

如圖在Rt△ABC中，三個頂點坐標分別為A（-1，0），B（1，0），C(-1，

2

2

)，曲線E過C點且曲線E上任一點P滿足|PA|+|PB|是定值．
（Ⅰ）求出曲線E的標準方程；
（Ⅱ）設曲線E與x軸，y軸的交點分別為D、Q，是否存在斜率為k的直線l過定點(0，

2

)與曲線E交于不同的兩點M、N，且向量

OM

+

ON

與

DQ

共線．若存在，求出此直線方程；若不存在，請說明理由．