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已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀(guān)圖如圖：
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．
（3）若F是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，證明：不論點(diǎn)F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

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如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點(diǎn)P是AD₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試求四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積的最大值；
（2）試判斷不論點(diǎn)P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并證明你的結(jié)論．

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一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空題：

11. ；      12. ；          13. ；

14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

三、解答題：

17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.       ……8分

所以，

即.                                      …………………12分

18.解：（1）依題意，雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為：、，

則                解之得：，

所以雙曲線(xiàn)的方程為：.                  ……………………6分

（2）設(shè)、，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，此點(diǎn)即為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，由   消去，得，

此方程的且，，

所以、兩點(diǎn)分別在左、右支上，不妨設(shè)在左支、在右支上   ………9分

則由第二定義知：，，     …………11分

所以

，即. ………14分

（亦可求出、的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求.）

19.（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行.

∵在中，、分別為、的中點(diǎn)

∴∥   又平面，而平面 

    ∴∥平面.                              ……………………4分

（2）證明（略證）：易證平面，又是在平面內(nèi)的射影，，∴.                         ……………………8分

 (3)∵與平面所成的角是，∴，，.

過(guò)作于，連，則.     …………………10分

易知：，，設(shè)，則，，

在中，，

得.                 ………14分

解法二:（向量法）（1）同解法一

（2）建立圖示空間直角坐標(biāo)系，則，                          ，，.

設(shè)，則

      ∴   （本小題4分）

（3）設(shè)平面的法向量為，由，

得：，

依題意，∴，

得.                             （本小題6分）

20.解：（1），

∴可設(shè)，

因而   ①

由  得          ②

∵方程②有兩個(gè)相等的根，

∴，即  解得  或

由于，（舍去），將 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

（2）=，

∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

∴在上的函數(shù)值非正，

由于，對(duì)稱(chēng)軸，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

故所求a的取值范圍是.                     …………………11分

 （3）時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即證方程 僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，由，得，，易知在，上遞增，在上遞減，的極大值，的極小值，故函數(shù)的圖像與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得證.                                    ……………………16分

21.解：（1），                        ……………………1分

=.                      ……………………4分

（2），           ……………………5分

，………7分

∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.       ……………………8分

（3）由（2）知， S_n =， ……………9分

=∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

∴，                                     ……………………11分

又當(dāng)時(shí)，，∴， ……………………13分

∴<.……14分